Számít-e, hogy egy végtelen halmazt megszámlálhatóan vagy megszámlálhatatlanul végtelen sokszor rendelem önmagához?

Egy végtelen halmaz például a valós számok halmaza, az R, melynek számossága kontinuum, azaz c.

R n-szer való önmagához rendelését a következőképpen értem:

R ^-> n = R -> ( R ^-> (n-1) ),

R ^-> 2 = R -> R

R ^-> 1 = R

És tudvalevő, hogy A->B számossága |A -> B| = |A|^|B|, így például az R-ből R-be képező függvények 2^c sokan vannak, vagy például az R->(R->R) leképezések már 2^2^c sokan, stb.

A kérdés az, hogy van-e értelme megkülönböztetni végtelen nagy n-eket, azaz a következő egyenlőtlenség szigorúságát vizsgálni:

| R ^-> |N| | kisebb-egyenlő | R ^-> |R| |

ahol N a természetes számok halmaza.