A Graham-számot nevezhetnénk megszámlálhatatlanul végesnek?

> A Graham-számot nevezhetnénk megszámlálhatatlanul végesnek?

Matematikai szóhasználattal nem. Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, aminek az elemei párba állíthatóak a természetes számokkal. Azaz létezik H↔ℕ bijekció. Kicsit hétköznapibb megfogalmazásban a halmaz minden eleméhez hozzá lehet rendelni egy következő elemet, és minden elem – esetleg egy kezdőelemet leszámítva – következője valamelyik másik elemnek.

Megszámlálhatatlanul végtelen halmaz esetén nem létezik ilyen bijekció. A halmaz elemeit nem lehet „felsorolni” még végtelen idő alatt sem. Pl. a valós számok ilyenek. Mert mi következik a 3,56 után? 3,561? 3,5601? 3,56000001?

~ ~ ~

Nyilván hétköznapi szóhasználatban a Graham-szám túl nagy ahhoz, hogy valaki elszámoljon a Graham számig. Mert hát az élet rövid. De matematikai szempontból ennek nincs jelentősége, a matematika független attól, hogy meddig él egy ember, vagy meddig létezik az univerzum.

~ ~ ~

> Ha igen, akkor melyik a legkisebb megszámlálhatatlanul véges szám, amiből 1-et kivonva megszámlálhatót kapunk, hmm?

Attól függ, hogy ki hogyan definiálja a „megszámlálhatatlanul véges szám” fogalmát. Mert ilyen matematikai fogalom nincs. De bárki használhat saját maga alkotott fogalmat, ha előtte definiálta azt. Pl. én egy matematikai levezetésben definiálhatom a „hétszerű szám” fogalmát, és definiálhatom úgy, hogy azok a számok hétszerűek, amik vagy oszthatóak héttel, vagy szerepel bennük a hetes számjegy. Utána már használhatom nyugodtan az általam megalkotott fogalmat.

Ha te definiálod, akkor definiálva lesz. Más nem használata tudtommal ezt a fogalmat, ezért nincs definíciója, így nem is lehet elmondani semmit róla.

"megszámlálhatatlanul véges szám"

Ilyen nincs. Konkrét számokra használsz olyan kifejezéseket, amiknek csak halmazok esetén van értelmük.

Minden szám véges. A végtelen nem egy szám. A Graham-szám is egy sok közül, konkrét pontos értékkel. Az más kérdés, hogy nem ismerjük ezt a pontos értéket, mert "túl nagy".

Éppen lehetne rá mondani.

Az egy dolog, hogy tizes számrendszerben nem adható meg a pontos értéke. De ha azt mondom, hogy a számot írjuk fel Graham-számos számrendszerben, akkor máris meg tudjuk mondani az értékét, ami az 10 lesz. Tehát minden egész szám leírható „végesen véges” számjegyekkel, csak a megfelelő eszközt kell használni.

Az a baj, hogy összekevered a fizikát a matematikával. A fizika a létező világot írja le, annak minden tulajdonságával, korlátjával, a matematika meg egy absztrakció, amire nem érvényesek a fizikai világ korlátai.

Pl. ha van egy 1 méteres rudad, akkor fizikailag nem tudod azt korlátlan számban elfelezni, mert eljutsz egy atomi vastagságig, amit már nem tudsz felezni. De a matematikában korlátlan számban el tudsz felezni egy szakaszt.

Vagy pl. ha fogod az x→1/x függvényt, veszed az x≥1 részét a görbének és megforgatod az x tengely körül, akkor kapsz egy véges térfogatú, végtelen felületű testet. Mivel a térfogata véges, így véges mennyiségű festékkel meg tudod tölteni. A festék kiöntése után kapsz egy végtelen felületet, ami ki lett festve, miközben a festéked annyi maradt, amennyi volt. Nyilván a fizikai világban ilyen nincs, mert a festéknek anyaga van, atomokból áll, a festékfelület nem végtelenül vékony, hanem minimális vastagsága van.

Vagy pl. fogsz egy kockát. mindegyik oldal mentén elharmadolod – mint a Rubik-kockát – , és eltávolítod a középső elemet. A megmaradt 26 kisebb kockára elvégezd ugyanezt, majd ezt ismételgeted a végtelenségig. Amit kapsz, az egy olyan test, aminek végtelen a felülete, a térfogata meg nulla. Nyilván a fizikai világban ilyen nincs, hiszen nem tudod végtelenségig ismételni a metódust, az anyag itt is atomokból áll, a felezések idővel fizikai korlátba ütköznek.

~ ~ ~

> Az a baj a Graham-szám-alapú számrendszerrel, hogy nincs annyi karakterünk...

Fizikailag tényleg nincs. De a matematika absztrakt világában egy korlátlan ideig élő hipotetikus lény korlátlan anyagmennyiséget felhasználva véges idő alatt elő tud állítani ennyi karaktert.

> még ha 1024×1024-es képernyőn sok milliárd színt is használunk, mint szimbólum

Ez megint egy fizikai korlát. A matematika korlátok nélküli világában miért ne használhatnánk egy 1 trilliárd fényév képátlójú képernyőt, ahol egy pixel egy atom átmérőjének az 1 trilliárdod része? Hogy ekkora képernyő nincs? A fizikai világban tényleg nincs, de a matematika világában megkonstruálható.

> Úgy finomítanék a "megszámlálhatatlan végeseken", hogy az adott rendszer (számítógép, emberi elme) nem tudja ábrázolni az összes számjegyét - mondjuk 10-es radixszal.

Megint fizikai korlátot állítasz fel matematikai kérdésben. Egy ember nem tud elszámolni nem hogy a Graham-számig, de 2 milliárdig sem. Ha egy másodperc alatt mondanál ki egy számot, és ezt 10 éves korodtól 100 éves korodig az életed minden napján 16 órában csinálnád folyamatosan, akkor is csak 1 893 456 000-ig jutnál el.

Hogy számítógép? Pl. 200 éve nem volt számítógép, akkor más lett volna a „megszámlálhatatlan véges” fogalma? Milyen matematika lenne ez? A matematika pont attól az, ami, hogy elvonatkoztat a fizikai világtól. Persze – legtöbbször – a fizikai világból indul ki, de egy attól független rendszert képez.

> … miért ne használhatnánk egy 1 trilliárd fényév képátlójú képernyőt …

Még mielőtt szó érné a ház elejét, nyilván ekkora képernyő sem lenne elégséges, csak azt hivatott szemléltetni, hogy a matematika világára nem vonatkoznak a fizikai világ korlátai. Nyilván egy G^G fényév átmérőjű képernyő viszont elégséges lenne… Bőven…

Nem, mivel nincs ilyen fogalom.

Értelmetlen minden ok és cél nélkül random definíciókat gyártani.

Egyátalán mi az, hogy megszámlálhatatlanul véges?

Ilyen még halmazelméletben sincsen tudtommal.

"Úgy finomítanék a "megszámlálhatatlan végeseken", hogy az adott rendszer (számítógép, emberi elme) nem tudja ábrázolni az összes számjegyét - mondjuk 10-es radixszal."

Vagyis túl nagy, hogy felírjuk? És akkor az a kérdés, hogy a Graham szám túl nagy-e, hogy felírjuk? Jelen tudásunkkal: Igen. (Ahogy 2xSü írta, nem matematikai, hanem technikai okokból.)

"De ha azt mondom, hogy a számot írjuk fel Graham-számos számrendszerben, akkor máris meg tudjuk mondani az értékét, ami az 10 lesz."

A helyiértékesen ábrázolt számokat polinomként is fel kell tudni írni. Egy G radixú rendszerben ezt nem tudod megtenni. Az 10 kb. ennyit jelent: 1*G, ami kb. olyan, mintha tízes számrendszerben írnánk le egy G betűt, ami nem helyiértékes ábrázolás.