Felfedeztem volna egy alef-0-nál kisebb végtelen számosságot?

Egy halmaz – legyen „H” – akkor végtelen, ha a halmaz elemszámáról azt tudod mondani, hogy:

∀n∈ℕ : n < |H|

Magyarra fordítva a halmaz elemeinek száma nagyobb, mint tíz, nagyobb, mint száz, nagyobb mint ezer, nagyobb mint egymillió, nagyobb mint egytrilliós, stb… Bármilyen véges számot mondasz, a halmaz elemeinek száma annál nagyobb.

ℵ₀ számosságú a természetes számok halmaza.

Két halmaz elemeinek számossága akkor egyezik meg, ha kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést lehet tenni a két halmaz elemei között. Tehát ha az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak egy és pontosan egy eleme hozzárendelhető, és viszont.

Pl. a páros számok halmaza is ℵ₀ számosságú, hiszen minden természetes számhoz hozzá tudok rendelni egy páros számot:

n → 2n

És minden páros számhoz hozzá tudok rendelni egy természetes számot:

n → n/2

A két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés – bijekció – áll fenn:

1 🡘 2

2 🡘 4

3 🡘 6

4 🡘 8

5 🡘 10

…

623 🡘 1246

624 🡘 1248

…

248353 🡘 496706

248354 🡘 496708

…

Az, hogy a természetes számok halmazának a páros számok halmaza valódi részhalmaza, hogy van számos olyan szám, ami eleme a természetes számok halmazának, de nem eleme a páros számok halmazának – ezek ugye a páratlan számok –, attól még a két halmaz számossága azonos.

De ugyanez igaz mondjuk a kerek természetes számok halmazára is (értsd: 10 egész számú hatványai: 1, 10, 100, 1000). Bár ez a halmaz sokkal „ritkábbnak” tűnik, hiszen ugye egymillióig bezárólag egymillió természetes szám van, viszont kerek szám csak hat, így a legtöbb szám nem kerek szám, eleme a természetes számok halmazának, de nem eleme a kerek számok halmazának. Sőt:

K[m] = {10^n | n∈ℕ,n<m}

N[m] = { n | n∈N,n<m}

Akkor:

lim{p→∞} |K[p]| / |N[p]| = 0

Magyarán, minél nagyobb „p”-t nézünk, annál nagyobb azon „p”-nél kisebb számoknak a „p”-nél kisebb természetes számok számához viszonyított aránya amik elemei a természetes számok halmazának, de nem elemei kerek számok halmazának.

De ettől a kerek számok halmaza és a természetes számok halmaza között bijektív leképezés hozható létre:

n 🡘 10^(n-1)

Azaz:

1 🡘 10^0=1

2 🡘 10^1 = 10

3 🡘 10^2 = 100

4 🡘 10^3 = 1000

5 🡘 10^4 = 10 000

6 🡘 10^5 = 100 000

7 🡘 10^6 = 1 000 000

Minden véges természetes számhoz tudok pontosan egy kerek számot hozzárendelni, és bármelyik véges természetes számra meg tudom mondani, hogy melyik az. Ugyanígy minden véges kerek számhoz tudok pontosan egy természetes számot (sorszámot) rendelni, és bármelyik véges természetes számra meg tudom mondani, hogy melyik az.

Ezért azonos a két halmaz számossága, mert összepárosíthatóak az elemei úgy, hogy minden elemnek pontosan egy párja van a másik halmazban, és mindegyik elemnek van párja a másik halmazban.

A kérdésben szereplő halmazok csak bonyolításai ennek. Attól, hogy egy ℵ₀ számosságú halmaznak van olyan részhalmaza, ami végtelen elemszámú, és ez valódi részhalmaz, attól még lehet a számosságuk azonos.

"Rendben, akkor foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy e, pí és log2 mely Q[x]-nek eleme!"

Ne foglalkozzunk.

"Rendben, akkor foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy e, pí és log2 mely Q[x]-nek eleme!"

Egyiknek sem. Ha érdekel a téma, akkor a transzcendens számok témakörének járj kicsit utána.