Hogyan lehet az, hogy nem definiáljuk a halmazt?

"A halmaz olyan elemek gyűjteménye, amelyek alapvető, feltűnő tulajdonságaikban megegyeznek egymással."

Az üres halmaz minek a gyűjteménye?

Miért kellene, hogy bármiben is megegyezzenek az elemek? Azon túl, hogy éppen egy közös halmazban vannak.

Kérdező, ha van egy halmaz, aminek a következő hat eleme van:

12, százkilencvennégy, kismacska, beautiful, татьяна, xhfujabbdnsk.

Hogyan definiálnád?

Sok helyen fogalmaznak úgy, hogy pl:

"Egy halmazba az azonos tulajdonságú dolgokat csoportosítjuk."

[link]

Fentebb már utaltak rá, hogy ez így kicsit ki van sarkítva. Az elemek közös tulajdonságaival való meghatározás arra utal, hogy a halmazt gyakran eleve egy tulajdonsággal definiáljuk, tehát megadjuk, hogy valamilyen tulajdonságú elemek tartoznak bele. A matematikában jellemzően ilyen halmazokat használunk. De pl. a halmazműveletek ugyanúgy működnek az elemek sima felsorolásával megadott halmaz esetén is.

A matematikában nem lehet a végtelenségig visszamenni a definíciókkal, hanem valahol meg kell állni. Az alapfogalmakat nem definiáljuk. Ilyen például az egyenes, a sík, vagy a halmaz.

Kedves kérdező, a te benyomásod a halmazokról nem felel meg a matematikai halmaznak, mivel felsorolással is lehet halmazt megadni, nemcsak definícióval.

> A halmaz olyan elemek gyűjteménye, amelyek alapvető, feltűnő tulajdonságaikban megegyeznek egymással.

Oké, de mit jelent az, hogy „elem”? Mit jelent az, hogy „gyűjtemény”? Mit jelent az, hogy „alapvető”? Mit jelent az, hogy „tulajdonság”?

Egy definíciós rendszerben szükségszerű, hogy vannak definiálatlan elemek. Ha az az elvárás, hogy minden elem definiálva legyen, akkor ott mindenképpen körkörös definíciók lesznek. Kicsit olyan ez, mint az ipar. Egy autó legyártásához kell mondjuk egy robotkar. A robotkar legyártásához kell egy csavar. A csavar legyártásához meg mondjuk kell egy kalapács. És akkor mivel készítjük a kalapácsot? Egy másik kalapáccsal? Vagy más gépekkel? És azokat hogyan készítjük el kalapács nélkül? A gyártásnál tényleg igaz, hogy a semmiből nem lesz valami. Előbb-utóbb eljutunk oda, hogy egy dolgot használunk a gyártáshoz, de magát a dolgot nem gyártjuk le, az egyszerűen csak van (mondjuk egy kődarabig).

A halmaz valahol az emberi elme működésének egy fő jellegzetességével rokon, annak az absztrakciója. Az ember fogalmi kategóriákban gondolkodik, kvázi halmazokban. (Egy gyerek eleve így tanulja meg a világot: vannak a nénik, a bácsik, az édességek, az állatok, a játékok. Halmazok, és itt tényleg valamilyen szempontból összetartozó, bizonyos tulajdonságaikban megegyező elemek halmazai, ami viszont a matematikában nem feltétlenül igaz.)

Sok dolog van a matematikán belül is, amit nem definiálunk, mert definíció nélkül is értjük, ilyen például a pont és az egyenes a geometrián belül. Ezeket hívjuk alapfogalomnak.

Azt szokták tanítani, hogy az alapfogalmakat azért nem definiálják, mert igazság szerint nem is nagyon tudják. Az egyenessel és a ponttal is ugyanez a helyzet. De szerencsére ezek megértését nem gátolja a precíz definíció hiánya, és így tud a matematika működni.

A halmazt is próbálták sokan definiálni, de nem sikerült úgy definiálni, hogy minden egyes halmazra igaz legyen. Az általad írt definícióval az a probléma, hogy olyan halmaz is megadható, melynek elemei semmilyen szempontból sem hasonlóak, mégis azt akarjuk, hogy az ezeket összefogó „izére” is mondhassuk azt, hogy halmaz.

Ha nagyon definiálni akarjuk, akkor mondhatjuk azt, hogy a halmaz egy szabályrendszer, ami a (létező) dolgokat „beengedi” vagy „kizárja”, és a beengedett dolgokat hívjuk elemeknek. Persze olyan halmaz is van, ami minden dolgot kizár, például a 6-tal osztható prímszámok halmazába csak a 6-tal osztható prímszámok kerülhetnének, de ezt a szabályt semmi nem tudja teljesíteni.