Tudjuk, hogy van többféle végtelen, sok végtelen sok féle. A megszámlálhatón túl a kontinuum és azon túl is még vannak. Számfogalom is definiálható hozzájuk, vagy csak halmazok számosságaként lehet rájuk gondolni?
"Számosság minden halmazhoz rendelhető, így a végtelen számosságok kibővítik a természetes számok halmazát úgy, hogy a műveletek és a rendezés is kiterjesztődik. Ebből következően - szerintem - ha akarod, akkor a végtelen számosságokat is tekintheted számoknak, de ez nem annyira szokásos"
Én ilyenről nem tudok. A Valós számok esetében igaz, de tovább nem tudok róla, ezért kérdeztem. Hivatkoznál valamit, ha így van? A kontinuum hatványhalmazán nem tudok róla, hogy a műveletek hogyan lennének értelmezhetők, sőt egyáltalán a valós számok egy részhalmaza az milyen szám lenne.
A szürreális számok wiki cikke így kezdődik:
A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak...
Akkor egy kicsit félrevezető, hogy nem kontinuum számosságúak, de oké elfogadom. Kérdésem, hogy ez csak egy további példa, vagy létezik minden számossághoz egy természetes számfogalom is?
"De, a pont, mint entitás megfeleltethető afféle „számnak”, amely halmazának a számossága nagyobb, mint a valós számok számossága."
Nem, a pont nem egy szám. Amit mondasz, az csak halmaz. A számhoz műveletek tartoznak, minimálisan az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, stb. kiterjesztése. A komplex számok "véletlenül" éppen reprezentálhatók pontként, de nem attól számok, hogy egy számpár, hanem attól, hogy műveletek végezhetők velül. A következő például a kvaternió, ami 4dimenziós, de 3D számfogalomról például nem tudok.
válasza:"Akkor egy kicsit félrevezető, hogy nem kontinuum számosságúak, de oké elfogadom."
Ennyi erővel az angol Ordinal Number (magyarul rendszám) kifejezés azt jelenti, hogy megszámlálhatóan végtelen, ami szintén egyébként nem igaz. Sőt mint említettem magasabb rendűen végtelen számosságú mint bármely végtelenül nagy halmaz. Írtam is arra, hogy "Az elnevezés (laikusnak) félreértésekre is adhat okot".
Ezek szerint ez is félreérthető. A kontinuum folytonosságot jelent. Kalkulusba van matematikailag precízen a folytonosság definíciója. A valós számok hézag mentesen kitöltik a számegyenes bármely epszilon>0 méretű intervalluma az alef-1 számosságú valós számot tartalmaz amit elneveztek kontinuum számosságnak. Azonban a szürreális számok is folytonosan kitöltik a számegyenest, de úgy hogy két különböző számja közötti különbség lehet annyira kicsi, hogy konkrét infinitezimális (végtelenül kicsi) értéket felvehet, nem úgy mint klasszikusan a határérték számításnál, hogy csak oda tart egy sorozat vagy függvény határértéke. Ez még egy "minőségi ugrás" a klasszikusan értelmezett folytonossághoz képest.
Valaki írta, hogy : "Számosság minden halmazhoz rendelhető, így a végtelen számosságok kibővítik a természetes számok halmazát úgy, hogy a műveletek és a rendezés is kiterjesztődik. Ebből következően - szerintem - ha akarod, akkor a végtelen számosságokat is tekintheted számoknak, de ez nem annyira szokásos"
Igaza van.
"A kontinuum hatványhalmazán nem tudok róla, hogy a műveletek hogyan lennének értelmezhetők, sőt egyáltalán a valós számok egy részhalmaza az milyen szám lenne."
Nem is azt írta hogy a halmazok, hanem hogy a számosságuk. A valós számok részhalmazának mérete lehet :
alef-1 (kontinuum végtelen)
alef-0 (megszámlálhatóan végtelen)
véges (egy konkrét természetes szám)
A halmazok lehetséges méretét tekintjük mint a természetes számok általánosítása, véges rendszám esetében egybeesik a klasszikusan értelmezett természetes számokkal.
Ezek a kardinális számok [link]
Van továbbá még a itt írnak transzfinit számokról : [link]
Magyarul nem láttam, én magam így magyarítottam.
Itt meg is említi hogy léteznek vagy nem léteznek alef-0 és alef-1 közötti transzfinit számok attól függően hogy a kontinuum hipotézis igaz vagy nem, de nem csak e között hanem a kontinuum hipotézis általánosítását kell tekinteni.
Említ omegát is, ez esetben ez a legkisebb végtelenül nagy értékű szám, amire van rákövetkező szám, de nincs ezt megelőző.
Mint látható nem is egy fatja a számfogalmom általánosításáról, kiterjesztéséről ír, de annyira sokak ezek a fajta absztrakt számok hogy ezen számok számosságuk szintén nem alkotnak halmazt, hanem valódi osztályok. Olyanról nem tudok és nem találtam olyat hogy pl alef-2 számosságú számhalmaz, hanem vagy véges számosságú (cpu által hardveresen támogatott aritmetikák pl IEEE 754) vagy alef-0 (természetes számok halmaza), vagy alef-1 (pl valós számok, komplex számok) ha több mint alef-1 számosságú akkor az már nem számhalmaz hanem számok valódi osztálya.
válasza:"Itt meg is említi hogy léteznek vagy nem léteznek alef-0 és alef-1 közötti transzfinit számok attól függően hogy a kontinuum hipotézis igaz vagy nem"
Ezt úgy kell érteni, hogy a választott axiómarendszeren amin belül értelmezzük konkrétan meghatározott hogy igaz vagy hamis.
"Említ omegát is, ez esetben ez a legkisebb végtelenül nagy értékű szám, amire van rákövetkező szám, de nincs ezt megelőző."
Nem úgy értve megelőző, hogy bármi ami kisebb nála, hanem a rákövetkező művelet inverze azaz semmilyen szám rákövetkezője nem lehet omega. Rendszámként interpretálva láttam már régebben magyar nyelvű egyetemi pdf-be limesz rendszámnak, méghozzá ez a legkisebb limesz rendszám.
válasza:Jó kérdés.
Figyelembe kell vennünk, hogy alef-1=különböző (alef-0)-ok szorzataként felírható érték, ahol a szorzat azonban nem kummulatív jellegű (nem írható át összeadás formába, ugyanis a megszámlálható végtelen is végtelen).
Érdekesség, hogy ugyanakkor, az osztás összehasonlítható számosságú végtelenek között szerintem elvégezhető.
Én a jelenleg elfogadott matematikai modellekben inkább a nemleges válaszra hajlok...
El tudnék viszont képzelni olyan modellt is, ahol valószínűleg igen.
válasza:@13:26
Milyen különböző alef-0-ok vannak?
Mit értesz alef-0-ák szorzata alatt?
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!