Tudjuk, hogy van többféle végtelen, sok végtelen sok féle. A megszámlálhatón túl a kontinuum és azon túl is még vannak. Számfogalom is definiálható hozzájuk, vagy csak halmazok számosságaként lehet rájuk gondolni?

A végtelen nem számot, hanem inkább valamiféle jelleget jelent. A határtékszámításban pusztán azt fejezi ki, hogy valami bármilyen valósnál nagyobb. Ugyan értelmezhetőek bizonyos műveletek a végtelen fogalmára is (pl. ∞+∞=∞; ∞-1=∞; 2*∞=∞), de a végtelen számos olyan tulajdonsággal nem rendelkezik, amivel a számok igen. Pl. a végtelen nem egész, de nem is „nemegész”, a végtelen nem páros, nem páratlan, nem összetett, nem prím, nem négyzetszám, nem „nem négyzetszám”, stb… Az ilyen értelemben vett végtelen csak egyféle.

A halmazelméletben is a végtelen pusztán azt fejezte ki, hogy a halmaz elemeinek száma bármilyen véges számnál nagyobb. Aztán kiderült, hogy a végtelen halmazok „nagysága” lehet különböző. Ha van két végtelen halmaz, és a két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést lehet tenni, akkor a két halmaz „nagysága” azonos. Mint kiderült, nem minden végtelen halmaznál tehető ez meg, a valós számok és a természetes számok halmazának elemei között nem lehet ilyen kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést tenni. Viszont azt mondani, hogy a valós számok halmaza „nagyobb”, mint a természetes számok halmaza pontatlan, nem eléggé egzakt. A matematikai megnevezés a halmaz számossága, ami jól tükrözi, hogy a halmazok ezen tulajdonságának ugyan van valamiféle hasonlósága a számokhoz (pl. lehet az egyik halmaz számossága kisebb, vagy nagyobb, mint a másiké, vannak összefüggések, végezhetők bizonyos műveletek a számosságok között), de nem számot takar a fogalom.

> Szerintem az, hogy a számosság szót használtam, egyértelművé kellett volna tegye, hogy amiket itt most bevezető előadásként leírtál, azt mind ismerem, hiszen ismerem a fogalmat.

Meglehet. De nem árt ezt újra megfogalmazni.

> úgy a nagyobb számosságpkhoz is létezik-e olyan számfogalom, aminek a számossága kontinuumnál több?

Oké, akkor kicsit félreértettem a kérdést.

Egy végtelen halmaz hatványhalmaza – illetve egy halmaz összes részhalmazainak a halmaza – mindig nagyobb számosságú, mint az alap halmaz: 2^ℵₙ > ℵₙ . Pl. a pontok – úgy általában, tehát a 0, 1, 2, 3, akárhány dimenziós térben lévő pontok – halmazának számossága nagyobb, mint a valós számok halmazának a számossága, hiszen a pontok koordinátái még nagyobb halmazt is adnak, mint a valós számok halmazának a hatványhalmaza.

"Viszont azt mondani, hogy a valós számok halmaza „nagyobb”, mint a természetes számok halmaza pontatlan, nem eléggé egzakt."

A halmazelméletben az egyik alapfogalom a rendszám amely pontosan definiálja a halmazok számossága szerinti rendezést.

Minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.

A jólrendezési tétel kimondja, hogy minden halmaz jólrendezhető, azaz tetszőleges halmazon megadható olyan rendezés, amellyel a struktúra jólrendezett. --> Minden halmaznak van rendszáma.

Az angol szakirodalomban Ordinal Number kifejezéssel található meg. Az elnevezés (laikusnak) félreértésekre is adhat okot, de ugyanakkor kifejezőbb elnevezés abból a szempontból hogy a sorszámozás, sorba rendezés általánosításáról van szó.

"Pl. a pontok – úgy általában, tehát a 0, 1, 2, 3, akárhány dimenziós térben lévő pontok – halmazának számossága nagyobb, mint a valós számok halmazának a számossága, hiszen a pontok koordinátái még nagyobb halmazt is adnak, mint a valós számok halmazának a hatványhalmaza"

Ez nem igaz. Ilyen jellegű látszólag jó következtetések szerint ki lehet hozni hogy több természtes szám van mint prímszám, több egész szám van mint természetes szám, de szintúgy kihozható hogy több természetes szám van mint amennyi természetes szám van. Csak azt vettem figyelmen kívül hogy két halmaz számossága akkor ekvivalens ,ha létezik köztük olyan leképezés amely injektív és szürjektív is egyszerre azaz bijetív. Ezekkel jól meg lehet kavarni a nem szakavatott józan észt amely a véges esetekből indul ki teljesen hibás következtetéseket levonva.

Ajánlom Hilbert Grand Hotel-paradoxonokat : [link]

Ez a hotelesdi gondolatkísérlet amely rámutat a végtelen furcsaságaira magasabb rendű végtelen halmazokra is igaz olyan értelemben, hogy ilyen formában nem kapunk magasabb rendű végtelent. Azaz például veszünk A és B halmazokból leképezett D Descartes-szorzatot ahol A és B halmaz végtelen elemszámú halmazok. Nem lehet igaz az, hogy D>A és D>B. Ahol a > relációs jel alatt a halmazelméleti rendszám szerinti rendezés szerint értem.

Egyébként pedig amit ír az első hozzászóló a számokra vonatkoztatva ott határértékként, vagy ha jobban tetszik az arisztotelészi "potenciális végtelen" értelmében jelenik meg a végtelen. Sokan nem tudják még matektanárok közül se (mivel ez "új" matematika) ,hogy "aktuális végtelen" fogalmaként is jelennek meg konkrétan definiált végtelen sőt infinitezimális mennyiségek is. Ezeket szürreális számoknak hívjuk. A szürreális számokból, de még a rendszámokból is annyira végtelenül sok van, hogy nincs olyan halmaz amely befogadná.

A számosság fogalma a természetes számok fogalmának kiterjesztésének tekinthető.

A véges halmazok számosságai kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethetők a természetes számoknak. Köztük a szokásos műveletek és rendezés is értelmezhető.

Számosság minden halmazhoz rendelhető, így a végtelen számosságok kibővítik a természetes számok halmazát úgy, hogy a műveletek és a rendezés is kiterjesztődik.

Ebből következően - szerintem - ha akarod, akkor a végtelen számosságokat is tekintheted számoknak, de ez nem annyira szokásos.

Inkább a fordítottja használatos, hogy a - amint az elején már mutattam - természetes számok számosságok.

" A legkisebb végtelen számosság a megszámlálható (alef-null), több számhalmaz is van, aminek megszámlálható a számossága, pl. egészek, természetes számok, racionális számok. A következő végtelen ennek a hatványhalmaza, ami éppen a kontinuum számosság. Ehhez is vannak számhalmazok, pl. a valós számok, a komplex számok, és a szürreális számhalmaz is ide tartozik, annak a számossága is kontinuum! "

Ez nem igaz, a szürreális számok számossága nagyobb mint kontinuum, sőt nagyobb mint bármely halmazé ezért nem alkotnak halmazt : "A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem."

[link]

"The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations."

[link]

[link]

> Ez nem igaz. Ilyen jellegű látszólag jó következtetések szerint ki lehet hozni hogy több természtes szám van mint prímszám, több egész szám van mint természetes szám…

Hát pedig a Cantor-tétel szerint |𝓟(H)| > |H|

Ha a valós számoknak veszem a hatványhalmazát, a hatványhalmaz elemeinek (mint részhalmazoknak) megfeleltethetők koordináták. És akkor nem is az összes pontot fedtük le, hanem csak azokat, amiknek a koordinátái növekvő sort alkotnak.

> Ez mind nagyon szép, de a kérdésemre még senki nem válaszolt, sőt nem is érintette.

De, a pont, mint entitás megfeleltethető afféle „számnak”, amely halmazának a számossága nagyobb, mint a valós számok számossága.

(Nota bene a természetes számokat le tudjuk írni 10 számjeggyel, a valós számokat is, a pontokat is, persze nyilván újabb jelöléseket és jelentéseket kell ehhez bevetni, a pont esetén – 2 vagy több dimenzió esetén – a koordináták közötti vesszőket, meg azt, amit ezek a vesszők reprezentálnak.)

> A következő végtelen ennek a hatványhalmaza, ami éppen a kontinuum számosság.

Már ha a kontinuumhipotézis igaz. Csak arról ugye kiderült, hogy nem bizonyítható és nem is cáfolható. Annyit tudunk, hogy a kontinuum számosság nagyobb a természetes számok számosságánál, de hogy a *következő* számosság-e a természetes számok számossága után, azt nem.

Létezik természetes szám, racionális szám, valós szám, komplex szám. Másféle számot ezideig nem definiáltak. Ezeknek, mint összességük (végtelen elemű) halmazának, van számossága. Ezen felül léteznek más számosságú halmazok is természetesen. Azon halmazok elemei azonban nem számok, hanem valami más: koordinátarendszer, különféle fajta függvény, másik halmaz stb. Mindebből következik, hogy néhány számossághoz rendelhető számfogalom (pontosan az, amelyek az adott számosságú halmaz elemei), a többihez pedig nem. Sőt, jellemzően az elméletileg képzett halmazok túlnyomó részének elemei szintén halmazok, és csak csekély számban reprezentálnak valami fizikailag megfogható valóságot, mint például a folytonos függvények halmaza.

Tehát a kérdező számára az annyira vágyott válasz. NEM!

"Hát pedig a Cantor-tétel szerint |𝓟(H)| > |H|

Ha a valós számoknak veszem a hatványhalmazát, a hatványhalmaz elemeinek (mint részhalmazoknak) megfeleltethetők koordináták. És akkor nem is az összes pontot fedtük le, hanem csak azokat, amiknek a koordinátái növekvő sort alkotnak."

Nem is állítottam hogy a hatvány halmaz szerint ne úgy lenne minden H halmazra, hogy |𝓟(H)| > |H|. Itt akkor ezek szerint elbeszéltünk egymás mellett, mert "a 0, 1, 2, 3, akárhány dimenziós térben lévő pontok – halmazának számossága nagyobb, mint a valós számok halmazának a számossága". Egy dimenziós tér pontjainak megfeleltethetőek a valós számok, két dimenziós tér pontjainak a komplex számok, ezek szerint szerinted több komplex szám van mint valós szám, ha nem így érted akkor nem értem milyen térről beszélsz. Az n dimenziós tér pontjainak halmazán az n dimenziós euklideszi tér pontjait szokták érteni default-ba, persze van hiperbolikus stb. geometria is, ne nejünk bele nem ide tartozik.

"Már ha a kontinuumhipotézis igaz. Csak arról ugye kiderült, hogy nem bizonyítható és nem is cáfolható. Annyit tudunk, hogy a kontinuum számosság nagyobb a természetes számok számosságánál, de hogy a *következő* számosság-e a természetes számok számossága után, azt nem."

Azt én is láttam meg tudom is, külön nem tértem volna ki rá, de ilyen formában ez már csúsztatás. A "de" utáni rész ott az erős csúsztatás. Külön hibának ezt az állítást nem mondanám ezt a kérdező részéről mivel még hozzá kell tenni, hogy igaz hogy nem bizonyítható meg nem is cáfolható a kontinuumhipotézis, de ez nem azt jelenti hogy nem tudjuk hogy igaz e. Azt jelenti hogy a kontinuumhipotézis hogy igaz konzisztens és független, ezen állítás hozzávétele nem okoz ellentmondást, de a tagadás hozzávétele sem, ez az állítás axiómaként szerepel. A kettő közül csak az egyik egy axiómarendszeren belül. Az egyik Zermelo–Fraenkel halmazelméleti axiómarendszerben igaz a másikban pedig hamis a kontinuumhipotézis. Vagy egyszerűbben mondva létezik olyan világ amelyben igaz és létezik olyan világ is amiben hamis a kontinuumhipotézis. (Persze matematikai világról van szó.)