Ha nem igaz a kontinuumhipotézis akkor milyen példa van olyan halmazra melynek számossága megszámlálhatóan végtelen és kontinuum végtelen számosság közé esik?
Megjegyzés:
Matematikailag bizonyított, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható és nem is bizonyítható. Viszont az ,hogy ez igaz vagy hamis (a kettő közül csak az egyiket tetszőlegesen) axiómaként hozzávéve nem okoz ellentmondást. Vagyis konzisztens marad a Zermelo–Fraenkel axiómarendszerrel.
Minden H halmazra igaz a |H| < |P(H)| egyenlőtlenség. Ahol |s| jelenti tetszőleges s halmaz számosságát. A P(H) függvény tetszőleges H halmaz hatványhalmazát jelenti. N jelölje a természetes számok halmazát és R a valósakét. A következő egyenlőség teljesül |P(N)| = |R|.
Ha igaz a kontinuumhipotézis akkor minden olyan X halmaz melyre igaz, hogy |P(X)| = |R| arra igaz, hogy |X| = |N| . Vagy másként mondva bijektíven leképezhető a természetes számok halmazára az X halmaz.
Ha nem igaz a kontinuumhipotézis akkor létezik olyan X halmaz melyre igaz hogy |P(X)| = |R| és |X| = |N| egyenlőség nem igaz rá.
válasza:Olvastam a régebbi kérdéshez a kommentedet, és magam is meglepődtem, hogy értettem. Rég nem foglalkoztam ilyen elvont matematikával... fizikus volnék. Kis guglizással nem találtam cikket erre.
Eleve nehézzé teszi a kérdést, hogy a kontinuum hipotézis nem bizonyítható és nem cáfolható. Ugye ha meg tudnánk adni olyan részhalmazt pl. a valós számokból vagy a normál matematika foglamaiból, aminek a számossága |N| és |R| közötti, azzal pont megcáfolnánk a kontinuum hipotézist.
De tudjuk, hogy nem cáfolható meg.
Pont ezért egyszerű példa nincs is ilyen fura számosságú halmazokra.
Azt hiszem, valahogy úgy lehet elindulni mint a nem euklideszi geometriában. Ott a párhuzamossági axiómát lecserélik a tagadására az axiómarendszerben. Eredetileg az van, hogy a "párhizamos egyeneseknek nincs közös pontja" helyette valami olyasmit veszünk hogy "a párhuzamos egyenesek a végtelen távoli pontokban találkoznak"
És ezt most a végtelen távoli pontok miatt hoztam fel. A nem-euklideszi geometriában megjelennek ezek a végtelen távoli pontok, amik új objektumok, az euklideszi geometriában nincsennek.
Azt akarom mondani, hogy ha a kontinuum hipotézis tagadását akarjuk használni akkor az is valahogy úgy hangzik, hogy
"létezik mesterséges halmaz (M) aminek a számossága |N| és |R| között van"
és akkor az lehet a célunk, hogy az M "mesterséges halmaz(ok)" tulajdonságait megértsük.
Ahogy a nem euklideszi geometriában sem kell megkonstruálnunk a végtelen távoli pontokat, mert azok az új axiómában adottak.
Megjegyzés: Nem vagyok benne biztos, hogy így kell tagadnia kontinuum hipotézist, ahogy én írtam.
Megjegyzés2: Amit itt összefirkáltam az ... de ezt amúgy is látod rajta ... szóval semmiképpen nem akar levezetés lenni vagy semmi ilyesmi.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!