Mondana valaki konkrét példát az álef kettő végtelen halmazra?

Ezek szerint az a „fizikai“ megfelelő szemléletes geometriai megfelelőt jelent.

Ez szúrja a szemem: „minden lehetséges ábrát külön-külön felrajzolunk“.

Ezzel a ceruzácal való felrajzoláson nem a véges ideig működő, véges ideig létező, véges sok rajzra alkalmas tulajdonsággal rendelkező ceruzát értem. Hanem egy olyan idealizált ceruzát ami időtől független, elévülési tulajdonsággal nem rendelkező, „mindig” egyformán működő.(Nincs értelme a mindig fogalomnak (ezért van macskakörömbe) , ha az idő fizikai mennyiség nincs vagy nem szükségszerű ebben az idealizált ellentmondásmentes szellemi világban)

Ha nem csupán álmodoznunk, képzelgünk ész nélkül, hanem egy konzisztens matematikai világot írunk le akkor ilyen állításokat óvatosan, teszünk.

Az hogy van egy ilyen ceruzám és bizonyos ábrákat rajzolok vele az azt jelenti a számítástudomány vagy kiszámíthatóságelmélet nyelvén, hogy valamely algoritmus, algorimtusok vagy algoritmus család szerint „rajzolok” kvázi egy síkidom pontjainak a „rajzlap” mely kontinuum számosságú (pont)halmaz melynek részhalmazát képezem. Ha több rajzot csinálok akkor ugyanezt többféleképpen képezem. Azt kell belátni, hogy nincs olyan algoritmus mely pl a [0,1] intervallumon lévő összes számot felsorolja. Ami végrehajt valamely algoritmust, gondolhatunk egy (matematikai) Turing-gépre. Itt olyan speciális algoritmusokról van szó melynél Turing-gép sosem terminál. Vagyis bármely n természetes számhoz kiszámítható hogy a gép az n.-ik lépés után hol tart. Mint tudjuk hogy álef null természetes szám van és a [0,1] intervallumon meg álef egy valós szám ezért nincs olyan algoritmus. Ettől függetlenül definiálhatok olyan műveletet mely egy halmazhoz unió művelttel, hozzáadja a [0,1] intervallum összes elemét. Vagy egy olyan ceruzát mely „rajzol” egy folytonos szakaszt stb. Azt tudni kell, hogy álef null algorimus van. Többféleképpen is ebből az következik hogy nem lehet elvileg sem az összes ilyen rajzot lerajzolni. Ha úgy mondod hogy az összes lehetőség amit lerajzolhatnál az álef kettő az mindgyár más. Viszont itt a lehetőség szót nem a szokásos értelemben kell érteni mivel van olyan lehetséges ábra amit nem bírna a ceruza lerajzolni mert nincs hozzá algoritmus, csupán azért mert nincs annyi algoritmus mint amennyi ábra, végtelen sok algoritmus van, de mégsem elég.

„Itt az összes ábra alatt értem azt, hogy nem tudunk olyan tetszőleges ponthalmazt összeválogatni a „papírlapon“ (vagyis részhalmazt létrehozni a „papír“ pontjaiból), ami nem szerepelne valamelyik ábraként.”

Ez igaz.

„Amúgy úgy értem (ahogy írod), hogy elvileg ahány ábra lerajzolható lenne, akkor ezek száma egyenlő lenne álef kettővel.”

Ez nem igaz. Mint mondtam „Többféleképpen is ebből az következik hogy nem lehet elvileg sem az összes ilyen rajzot lerajzolni. Ha úgy mondod hogy az összes lehetőség amit lerajzolhatnál az álef kettő az mindgyár más. Viszont itt a lehetőség szót nem a szokásos értelemben kell érteni mivel van olyan lehetséges ábra amit nem bírna a ceruza lerajzolni mert nincs hozzá algoritmus, csupán azért mert nincs annyi algoritmus mint amennyi ábra, végtelen sok algoritmus van, de mégsem elég.”

"Itt most nem valami fizikai megvalósíthatóságon volt a hangsúly"

Nem fizikai hanem tisztán matematikai konstrukcióról beszéltem. Nem tud álef kettő féleképpen rajzolni a ceruza .Nincs megtiltva, hogy itt ez a Józsiról elnevezett pont a papíron, ha ez a pont eleme lesz a „berajzolt” pontoknak akkor ez és ez a pont nem lehet. Algoritmuselméleti oka van hogy miért nem lehet, mégpedig hogy nincs rá algoritmus.

A lehetséges rajzok száma álef null-nak kell lennie mivel ennyi algoritmus van mely leírja a lehetséges rajzok halmazát. Az igaz, hogy ez a halmaz álef kettő számosságú halmaz valódi részhalmaza.

Ez akkor van így ha annak az elképzelésnek teszek ellentmondásmentesen eleget, hogy van egy tisztán matematikailag konstruált folytonos lapom és erre a lapra egy szintén matematikai konstrukcióval létrehozott ceruzával hány félre rajz készíthető. Nem egy folyamatként tekintek egy rajz elkészítésére, hanem egy konkrét rajz lerajzolási definícióját, vagyis algoritmusát veszem kész konstrukciónak még akkor is ha az algoritmus tényleges végrehajtásra kerülne akkor sosem terminálna vagyis vég nélkül rajzolna az örökkévalóságig.

„Ha jól értem, a „ceruza“ használata azért problémás, mert az általunk ismert matematikával definiálható algoritmusok számának a számossága nem lépi túl az álef null számosságát. Így a „transzcendens“ koordinátájú pontok többsége a ceruza számára nem elérhető,”

Konkrétan erre nem is gondoltam, hogy azért mert a ceruza számára nem lenne elérhető azon pontok többsége. Ez egy szemléletes magyarázat lenne rá. Még majdnem igaz is, de tulajdonképpen mégsem. Ellenpélda: A „rajzlap” legyen az univerzum halmaz. Megadok egy algoritmust mely szerint, rajzoljon a ceruza, majd ezt az algoritmust úgy módosítom, hogy az algoritmus azt adja meg hogy hova ne rajzoljon vagyis a módosított algoritmus az eredeti „rajz” komplementer halmazát képezi. Akár az összes pont is be lehet rajzolva. Az összes lehetőség, amit a ceruza előállíthat az, mégis álef null. Mint említettem korábban nincs tiltva hogy szakaszt rajzoljon, mivel matematikailag jól definiálható egy tetszőleges szakasz. Egy szakasz átmehet a sík vagy esetünkben „rajzlapunk” bármely pontján.

Azonban ezzel a - „transzcendens“ koordinátájú pontok többsége a ceruza számára nem elérhető” - mondatoddal ihletet adtál. (Emlékeztettél) Amit eddig írtam azzal nincs ellentmondásban, amit most fogok írni. Eddig szűk látókörűen determinisztikus algoritmusokat értettem algoritmusok alatt. Vagyis egyértelműen meghatároz egy algoritmus egy „rajzot”. (Mondjuk ez sem igaz ebben a formában, mivel lehetnek olyan algoritmusok melyeknél eldönthetetlen probléma, hogy ki van-e „rajzolva” bizonyos pont vagy ponthalmaz, ezért olyan algoritmusokat veszek ahol ez mindig eldönthető, így is maradt álef null algoritmusom) Vagy másként parciális leképezést.

Amiről eddig korábban elfeledkeztem: Tágabb értelemben az algoritmus tartalmazhat véletlen lépést is. Új elvű algoritmusoknál lehet véletlen lépés is , ahol a véletlen axiómaszinten jelenik meg. Vagyis mondhatok olyat pl, hogy randomba rakj le egy pontot a -„transzcendens“ koordinátájú pontok többsége a ceruza számára nem elérhető” - ebben a formában nem igaz, de valamilyen értelemben mégis van benne igazság és ez az axiómaszinten beépített random lehetővé teszi, hogy a ceruza mégis az álef kettő összes lehetősége közül bármit képes legyen lerajzolni. Nem akarom bonyolítani, de így olyat is mondhatok, hogy kb. ide és ide rakj egy pontot azaz epszilon pontossággal rakj pontot. Intuitívan tekintve csak ilyen pontot tudok rakni mivel nem tudok abszolút pontosan pl az 1,1 koordinátára rakni egy pontot csak mondjuk 9 tizedesjegy pontossággal. Vagyis lehetne úgy is definiálni matematikailag ahol mindig csak véges pontossággal, tudok pontokat lerakni, de tényleg nem akarom bonyolítani.

Szemléletesen mondva a korábban említett algoritmusoknál egy algoritmus mindig ugyan azt a „rajzot” adta. Az utóbbiba ahol axiómaszinten benne van a random „nem mindig ugyanúgy sikerül”.

Mivel itt matematikai konstrukciókról van szó és nem egy időben lejátszódó eseménysorozatról, nem egy tényleges gépről mely végrehatja az algoritmust. Ezért úgy percíz mondani, hogy ahol van random akkor nem egy „rajzlapot” kapunk hanem a „rajzlapok” egy halmazát az összes lehetséges „rajzlapot” ami lehet a random és algoritmusunk által. Melynek számossága lehet álef kettő.

Összefoglalva:

Folytonos matematikai lapra egy matematikai ceruzával létrehozható lehetséges rajzok száma álef kettő ahol axiómaszinten a véletlen döntés is megengedett.