Létezik valódi paradoxon?

Ál-paradoxon lehet a konvencionális, megszokott dolgok hibásan törvényként való kezelése.

Ha van egy papírszalagod, akkor annak két oldala van, tehát a két oldalát lefestheted más színűre.

Moebius-szalag?

„Ohó álljunk csak meg. Ön azt mondja, a rögeszmém, hogy őrült vagyok. De hiszen tényleg az vagyok, az imént mondta. De hiszen akkor ez nem rögeszme, akkor az egy logikus gondolat. Tehát nincs rögeszmém. Tehát mégse vagyok őrült. Tehát csak rögeszme, hogy őrült vagyok, tehát rögeszmém van, tehát őrült vagyok, tehát igazam van, tehát nem vagyok őrült. Mégiscsak gyönyörű dolog a tudomány!” – Karinthy Frigyes

;-)

A kérdés részletezésénél írsz egy olyat, hogy „matematikai vagy logikai hibát tartalmaz”. De mitől tekintünk egy matematikai vagy logikai következtetési módszert hibásnak? Legtöbbször pont attól, hogy paradoxonokhoz vezet. Ha egy logikai következtetési módszer segítségével – egy adott axiómarendszerben – be lehet bizonyítani ugyanarról azt is, hogy igaz, azt is, hogy hamis, akkor az egy hibás módszer. A matematika legtöbbször kb. ebből indul ki. Ott a fenti idézetben is fellelhető Russell-paradoxon. Eléggé érthető, és eléggé jó példákat találsz rá itt: [link] . Mitől hibás a fenti logika? A matematika szépen hibássá tette, elvetve a naiv halmazelméletet. Egy kijelentés pl. nem hivatkozhat önmagára. Viszont „!én azt mondom!”, hogy ezzel az baj, hogy a hétköznapokban rengeteg kijelentés hivatkozik önmagára. A matematika számára ezek úgymond „illegális” állítások, amelyek igazságtartalma a logikai eszközökkel nem vizsgálható. Holott mi meg simán látjuk, hogy igaz-e, vagy sem.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Gödel bácsi anno megalkotta az ő első nemteljességi tételét: „Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.”

Mi ennek az értelme? Hogy egy adott axiomarendszerben az adott következtetési módszerekkel mindig lesz olyan állítás, amiről egyszerre lehet bizonyítani, azt is, hogy igaz, azt is hogy nem az (paradoxon). Ha viszont a következtetési módszereket úgy választjuk meg, hogy ezt elkerüljük, akkor mindig lesz olyan állítás, ami ugyan valójában vagy igaz, vagy nem az, mégsem lehet a következtetési módszereket használva ezt bizonyítani.

Az ilyen paradoxonok, vagy bizonyíthatatlanságok feloldhatók persze úgy, hogy más axiómarendszerre térünk át, de akkor más állítások fognak problémásak lenni.

És a más axiómarendszerre történő átállás sem feltétlenül olyan egyszerű.

Itt most a kontinuumhipotézis jut eszembe. Ugye a természetes számok számossága ugyanaz, mint mondjuk a páros számok számossága, hiszen minden természetes számhoz tudunk rendelni egy és kizárólag egy páros számot (a kétszeresét), valamint minden páros számhoz viszont hozzá tudjuk rendelni a megfelelő természetes számot (a felét), itt is egy páros számhoz pontosan egy természetes számot tudunk hozzárendelni. Ez látszólagos paradoxon. Sőt ugye a négyzetszámokkal is ugyanígy el tudunk járni. Az álparadoxon ebben az, hogy míg látszólag a négyzetszámok sokkal ritkábbak, mégis ugyanakkora a számosságuk, mint a természetes számoknak. Itt alapvetően a végtelenről alkotott képünk az, ami az álparadoxont okozza. A számosság nem szám. A számosság egy egészen másfajta tulajdonság.

Aztán ugye Cantor bácsi bebizonyította, hogy a valós számok számossága „nagyobb”, mint a természetes számok számossága. (Lásd: [link] )

Felmerült a kérdés, hogy létezik-e számosság a valós számok számossága és a természetes számok számossága között. Azaz igaz-e, hogy a valós számok bármilyen részhalmaza vagy a valós számok számosságával, vagy a természetes számok számosságával egyenlő, vagy van-e harmadik (esetleg negyedik, sokadik) számosság?

Gödel bácsi bizonyította, hogy a fenti állítás (miszerint nincs köztes számosság) nem cáfolható. Cohen bácsi meg bebizonyította, hogy az állítás nem bizonyítható.

Ilyenkor mi van? Ha megengedünk bizonyos fajta következtetési módokat, akkor valószínű arra jutunk, hogy mindkét állítás bizonyítható. Így viszont arra jutunk, hogy van egy kétségtelenül vagy igaz, vagy hamis állításunk, mégsem tudjuk eldönteni, hogy igaz-e vagy hamis. Ha más axiómarendszerre térnénk át, lehet, hogy fel tudnánk oldani ezt a problémát, csak akkor más problémák jönnének elő.

(Gödel második nemteljességi tételéről akkor még szó sem esett.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Valahogy az embernek ezeket megismerve olyan képe kezd kialakulni a világról, hogy valami nagyon nem stimmel azzal, amit mi logikának vagy logikusnak tartunk, de még csak nem is kapizsgáljuk, hogy milyennek kellene egy olyan logikának lennie, amiben Gödel első tétele nem áll fent. Mert itt nem csak arról van szó, hogy hibás logikai módszereket használunk, hanem arról, hogy ha más logikai módszereket használnánk, akkor annak ugyanúgy hibásnak kell lennie. Mintha maga a világunknak része lenne egyfajta paradox működés.

Talán jó alap, ha az axiómák megválasztására megnevezünk egy alapszabályt: axióma csak olyan kijelentés lehet, ami nem cáfolható. A matematika axiómái ilyenek.

De mivel (pl. az említett nagyon jó számossági példa) ezzel továbbra is maradnak nyitott problémák, fenn lehet tartani a feltételezést, hogy az axiómáink jók, csak nem határoztuk meg a szükséges ÖSSZES axiómát.