A matek tanárunk szerint "nem szabad" negatív számból gyököt vonni, szerintem "szabad", igazam van?

Tényleg nem érted, csak össze vissza olvasol, azt gondolod, hogy érted, de nem. Érteni nem annyit tesz, hogy el tudod olvasni.

Kezdjük ott, hogy az iskolában a tantárgyak tematikája jól meghatározott okok miatt olyan, amilyen (a politikai okból való eltéréseket most hanyagoljuk!!!). Illeszkedik a diák korának megfelelő átlagos képességekhez. Ezért bármit tanítani egy adott kor szintjén, közönséges szakmai hiba. Mivel az emberek sokfélék, így ebből a körből kilóghatnak diákok felfelé és lefelé, de ők vannak sokkal kevesebben. Őket külön szokás kezelni, ennek sokféle módja van, közöttük az eltérő iskolák, de lehet osztályon belül is. Ez az adott iskola lehetőségeitől függ.

Ezért ha például a komplex számokat (és mindent, ami ide tartozik) nem tanítják egy korcsoportnak, az nem hiba, hanem normalitás, és nem is fér bele abba a tanrendi körbe. Következésképp óra közbeni felvetését a tanárnak úgy kell kezelni, hogy egyrészt ne alázzon meg senkit, másfelől a leggyorsabban lezárja, mint zavaró tényezőt. Ívhegesztés közben se jó, ha valaki más héliumot fúj ugyanoda. Azt is ki kell zárni gyorsan, mint zavaró tényezőt. A kizárás módja sok mindentől függ. A tanár lelkiállapotától, a környezettől, a kérdező erőszakosságától például. A cél mindenképpen a téma gyors lezárása.

Most nézzük a komplex számhalmazt és a gyökvonást. Mindenekelőtt itt azt kell leszögezni, hogy a számhalmazok és a rajtuk értelmezhető műveletek zárt halmazt alkotnak. Ez azt jelenti, hogy minden tulajdonságnak van értelmezési tartománya. Így például az egész számok halmazán az osztás nem értelmezhető, mert gyakran az eredmény nem egész szám. Ott a 2/5 például értelmetlen. Ilyen egész szám nincs. De mivel a műveletre vannak szabályaink, szeretnénk, ha létezne. Ehhez azonban be kell vezetnünk a racionális szám fogalmát. Amint ezt megtettük, van osztás. Hasonlóan bevezethető a valós számfogalom, ahol további műveletek (függvények) értelmezhetők. A valós számok körében azonban a negatív számból való gyökvonás nem létezik, vagy pontos szóhasználattal, nem értelmezhető. Ha az iskolában a téma a valós számok, azaz ha az adott korosztályban a valós számokat értelmezzük csak, akkor ott a szabály az, hogy negatív számból nem lehet gyököt vonni. Szakmai körökben (amely szintén meghaladja az adott iskolai szintet) persze mondhatjuk, hogy a negatív számból való gyökvonás kivezet a valós számok halmazából, de folytatásképpen előbb definiálni kell azt a másik, komplexnek nevezett számhalmazt. Amiben az "i" mint komplex szám csak annyi, mintha azt mondanád, az egész számok az egy. Ami egy nagy marhaság. Majd ha a pedagógia szabályainak megfelelően előkészítettük a komplex számok bevezetésének feltételeit, akkor lesz negatív szám gyökvonásának értelmezése. Addig pedig nem és punktum.

Kérdező, azért mondtam, hogy összeolvasol egy csomó dolgot amit nem értesz, mert egy ismeretanyagnak is van értelmezési tartománya. Az itt azt jelenti, hogy az adott szintnek megfelelő módon fogalmazunk. Ellenkező esetben a dolog tele van hibás kijelentéssel, röviden pongyola és zavaros (többértelmű). Ami egy szinten pontos, az egy következőn pongyola. Ami ott pontos, az az utána következőn pongyola. Az iskolában például azt mondják, az erő értéke folytonosan változik. A te stílusodat alkalmazva azonban ezzel vitatkozni kéne, mondván, ez egy hatlövetű baromság, hiszen az erő és sok más is kvantált. És valóban. Csak az már egy másik tartomány. Amiről eddig beszéltünk, ott érvényes egy szabályrendszer, abban az erő folytonos. Van a természetben egy másik tartomány, ahol az erő és sok más mennyiség kvantált, azaz nem folytonos, hanem bizonyos értékek nem értelmezettek benne. E két dolgot keverni nem lehet.

Ha valóban többet szeretnél erről tudni (ami dicséretes törekvés), akkor nem árt irányítottan tenni, lehetőleg szakember segítségével. Erre azért van szükség, mert az interneten (majdnem) minden megtalálható. Csakhogy a tudományban szintek vannak eltérő értelmezési tartománnyal és ehhez illesztett szókészlettel, máshogy mondva, szakzsargonnal. Ebben az a kellemetlen, egyes témákban hogy maga a szó mindenütt előfordul, de gyakran eltérő jelentéssel. Aki pedig észrevétlen másik tartományba tévedt, ezt nem veszi észre, a szó jelentését az ismertnek veszi (nyilvánvalóan), és máris gyűlnek a tévképzetek. Amit senki se szeret feladni, mert úgy éli meg, mint kudarcot.

Összefoglalva: a szabad/nem szabad, pláne tilos nem értelmezhető szavak. A valós számkörben a negatív számból nem lehet gyököt vonni. Szabad, de nem lehet, mert nincs eredménye ott. A komplex számkörben viszont nemcsak szabad, de lehet is, mert van eredménye, mégpedig egy komplex szám. Sőt, a komplex számkörből az osztás nem vezet ki, tehát bármely (komplex) számból vont gyök komplex (mert ugye a 2 is komplex, hiszen része annak). A tilos szót viszont azon makacskodóknak szokták mondani, akik az istennek se hajlandók se megérteni se elfogadni a dolgokat. Ekkor ezzel zárjuk le a vitát: tilos. Ami persze szigorúan véve így nem igaz, hanem úgy igaz, hogy "tisztelt diák úr, ha ön olyasmiben köti az ebet a karóhoz, amihez fogalma sincs, akkor önnek ez egyszerűen tilos. Senki se tárgyalja meg ezt önnel, mert értelmetlenségekre nincs ideje. Ezen a szinten nem".

"Negatív, tört vagy irracionális számok faktoriálisa nem értelmezett; helyette a gamma-függvényt használják."

[link]

:o

Te már megint okoskodsz: "Amikor valaki megkérdezte (nem én), hogy tört számnak van-e faktoiálisa, szabályosan lefordította, hogy mit képzel, hogy lenne neki olyan..

Nem azt mondja, hogy van, de azt nem tanuljuk,mert.. hanem mintha gyps lenne és csak annyit tudnak a matekról, mint ami a gimis tankönyvben van xD"

Nincs a tört számoknak faktoriálisa csak egész számoknak. A faktoriálisnak van egy "kiterjesztése" de ennek már egészen más a neve és kb. sok köze nincs hozzá (ezt Gamma függvénynek nevezik). Mi lenne ha belátnád, hogy csak az agyad járatod?

A matematika is olyan, mint a nyelv. Vannak bizonyos ki nem mondott elemei egy-egy kijelentésnek, ami a kontextusból következik. Az ember azt mondja, hogy „egyik”. Nem mondja azt, hogy „jelen pillanatban, a Föld nevű bolygón, az x,y koordináta pont legalább 50 méteres körzetében, azokon a helyeken, amik nem fedettek, esik az eső”. Nem kell részletezni, hogy mikor, hol, mi is esik tulajdonképpen, mert van egy megszokott kontextus.

Mikor a matematikatanár azt mondja, hogy nem szabad negatív számból gyököt vonni, az alatt azt érti, hogy nem szabad gyököt vonni, ha azt akarod, hogy ne fuss hibás, helytelen megoldásokra, hogy a matematikai összefüggések mentén maradj. Pl. ha a gyök alatt egy kifejezés szerepel, akkor meg kell vizsgálni, hogy az adott kifejezés negatív-e.

Szintén nem mondja ki a tanár, mert a kontextus adott, hogy jelenleg a valós számok halmazával dolgoztok. Valós számok halmazán meg negatív számnak nincs értelmezve a gyöke. Igen, egy tágabb számhalmazban már értelmezve van, de a valós számok halmazán nincs. Kicsit olyan ez, mint mikor azt mondjuk, hogy 7 nem osztható 2-vel. Erre sem lehet rámondani, hogy „dehogynem”. Való igaz, hogy 7/2=3,5 , a művelet elvégezhető, de a megfogalmazásból meg a kontextusból adott esetben adódik, hogy ennek a „7 nem osztható 2-vel” jelentése az, hogy „7 nem osztható 2-vel az egész számok halmazán maradék nélkül”.

Szintén érdekes kérdés a gyökvonás fogalma. Valós számok halmazán a négyzetgyöknek – röviden fogalmazva a „gyöknek”, így mindenféle jelző nélkül – egy határozott, az általánosnál szűkebb értelmezése van. Egy „a” nemnegatív valós szám négyzetgyökén azt a nemnegatív valós számot értjük, aminek a négyzete „a”. Tehát a művelet eleve magában foglalja azt a kitételt, hogy (négyzet)gyöke csak egy nemnegatív valós számnak lehet, és az érték is csak egy nemnegatív való szám lehet. Az más kérdés, hogy a komplex számok esetén egy számnak több x-dik gyöke van, de azok a komplex számok, és ti most (még) nem a komplex számok halmazának összefüggéseit, műveleteit tanuljátok.

Sőt a matematika koránt sem annyira egzakt a definíciók szintjén, mint amennyire az iskolában annak állítják be. A matematikának nincs sem alkotmánya, törvénykönyve, sem pápája, Bibliája. A matematikában szokások vannak. Nyilván idővel az alternatívák közül az egyik elterjedtebb lesz, a másik meg kikopik… Legtöbbször. Mert pl. a számoknak eleve a neve – és bár nyelvi kérdésről van szó, kevésbé matematikai definícióról – világszerte nem egységesült. Magyarországon a hosszú skálát használjuk: millió, milliárd, billió, billiárd, az angolszász országokban meg jellemzően a rövid skálát: millió, billió, trillió. Oké, ez inkább nyelvi kérdés, de pl. abban sincs egységes definíció, hogy mik a természetes számok. Adott területen a 0 is természetes számnak számít, adott területen meg nem. Ahogy a matematika adott területe szempontjából praktikusabb, ahogy szokás. Ennek a feloldására pl. vannak egyértelműsítő jelölések, pl. a nullát is magába foglaló természetes számhalmaz jelölésére használják az ℕ* vagy az ℕ₀ jelölést, a 0-át nem magába foglaló természetes számhalmazra meg használják az ℕ⁺ vagy az ℕ₁ jelölést. De egy általános iskolás diákot hülyeség lenne rögtön az elején összezavarni. Ezért a tananyagban, tankönyvben le kell következetesen tenni az egyik definíció mellett a voksot, azt használni az órán, a tankönyvben és ezt a definíciót követelni meg, az alternatív definíciót meg hibásnak nyilvánítani. Mert ha nem így teszünk, akkor a diáknak előbb inog meg a matematikába vetett bizalma, még mielőtt kellő alapja lenne, hogy a bizonytalanságokat elfogadja és a helyén tudja kezelni.

~ ~ ~

Ketté kell választani az oktatást, meg a tudományt, amiben adottnak vesszük, hogy aki egy tudományos írást olvas, az vagy ismeri a matematika az írást akár csak közvetetten érintő tudásanyagát, vagy ha nem, képes utánajárni. Az oktatás viszont építkezés, ahol az alapoktól építkezünk, és azt feltételezzük, hogy a diák annyit tud, amennyit eddig megtanítottuk. Az oktatás tele van első közelítésekkel, egyszerűsítésekkel, amit ha valaki megtanult, onnan lehet aztán árnyalni, korrigálni, finomítani a már megszerzett tudást. Ha ezzel az analógiával élünk, akkor te azt várod el a tanártól, hogy a háztetőről lógasson le egy vödröt, mikor még sem a falak, sem az állványzat nem áll, éppen most kezdik az első téglákat lerakni az alapzatra.

~ ~ ~

Most mondok egy teljesen példát. Énekórán a Tavaszi szél című népdalt kellett volna elénekelnem egy felelésnél. De mivel néptáncos voltam, ezért én ismertem ennek egy teljesen más dallamváltozatát. Mikor nem a tankönyvben szereplő változatot kezdtem el énekelni, a tanár rám szólt, hogy ennek nem így van a dallama. Helyesen tette? Ha tudományos szemmel nézzük, akkor nem, hiszen ennek a dalnak nincs egy „hivatalos” dallama, csak különböző dallamváltozatai, amikből ilyen-olyan megfontolásból az egyiket választották ki a tankönyv megírásához. Még az sem feltétlenül lényeges, hogy a dallamváltozatok közül melyik az elterjedtebb, attól egy kevésbé elterjedt dallamváltozat ugyanolyan joggal létezik, mint az elterjedtebb. De mégis… nyilván a tanárnak igaza volt, ha ezzel azt akarta mondani – és ez volt a célja –, hogy nem ez volt a megtanulandó, a visszaadandó dallam, és én egy másik dallamváltozatot énekelve nem adtam számot arról, hogy a tankönyvben szereplő dallamot megtanultam és el tudom énekelni.