Mi az e szám? (Euler féle szám)

#6 és #8 vagyok. Elfogadom a gondolatmeneted, ez is egy lehetséges megközelítés.

Az e számra viszont véleményem szerint túlzás nélkül mondhatjuk, hogy a természetben számtalan helyen előfordul, még annak ellenére is, hogy nem közvetlen geometriai képként tárul elénk, mint pl. az aranymetszés, vagy a fraktálok.

Gondoljunk egyszerűen csak pl. a természetbeli folyamatokat leíró differenciálegyenletekre.

Igen, a diffegyenletekkel kapcsolatban valóban igazad van, de szerintem itt is fellép az a dolog, hogy például viszonylag kevésszer fordul elő a természetben (javítson ki valaki, ha tévednék) mondjuk az f'=f összefüggés, hanem helyette inkább az f'=a*f alakúak. Míg ugyebár első esetben a megoldások c*e^x alakúak, addig a másodikban c*(e^a)^x, és például, ha a=log(2), már a 2^x esetében nem mondanám, hogy szerepel benne az e, mert ilyen erővel, amikor megszámolunk valamit, akkor is mondhatnánk, hogy igen, bizony ott felbukkan az e, hiszen a számlálás nem más mint az e^(2i*pi) ismételt hozzáadása az eddigi mennyiséghez.

De mindent összegezve, ez persze csak a személyes véleményem.

Mind a matematikában, mind a műszaki gyakorlatban az f '=a*f differenciálegyenlet megoldását "e" -vel szokás megadni, mert nemhogycsak így a legszemléletesebb, de univerzálisan egységes alakban kezelhetők, mind kvantitatív, mind kvalitatív vizsgálatok szempontjából. Gondoljunk pl. egyszerűen pl. az a € R^(n x n) esetre. Feltételezem, most elsősorban lineáris, autonóm esetekre gondoltál. Azonban vannak ennél bonyolultabb, nemlineáris, nemautonóm esetek is, ahol szintén felértékelődik az "e" szám jelentősége.

Másrészt ha maradunk a lineáris, autonóm rendszereknél, gondoljunk pl. az alapmátrix előállítására. Rengeteg módszer az "e" számmal, ill. a belőle származtatott mátrixfüggvényeket használja fel...

Valószínűleg nem fogjuk meggyőzni egymást :) Nyilván az e szám jelentősége a matematikában megkérdőjelezhetetlen, én ezt nem is tagadom, például nekem se jutna eszembe hogy másképp adjam meg az f'=a*f megoldását mint c*e^(ax). Egyszerűen az én fülemnek kicsit zavaró ennyire absztrakt dolgokra a "természetes" megnevezés.

Amúgy az én determinisztikus világképembe nem fér bele, hogy egy természetből vett folyamatot leíró diffegyenlet ne legyen autonóm, de ez már egy egészen más kérdés :)

Pedig bizony rengeteg valóságos jelenséget lehetne mondani, amely egyáltalán nem autonóm.

Amúgy maga az, hogy valamit autonómnak tekintünk (vagy arra vezetjük vissza), már önmagában is egy absztrakció. Nyílván matematikailag így szép a dolog, mert autonóm rendszerekre egy csomó mindent ki lehet mondani, habár a pontos kvalitatív vizsgálatok még így is elég bonyolultak tudnak lenni...

Úgy, hogy ugyebár adott az f'(x)=F(x, f(x)) rendszerünk. (F: R x R^n -> R^n, keressük az f: R -> R^n függvényt)

Ugye, ez n ismeretlen, n egyenlet, f = (f_1, ..., f_n). Vezessük be új ismeretlenként f_(n+1)-et, ekkor az f'(x)=F(f_(n+1), f(x)) kiegészítve az f'_(n+1)(x)=1 egyenlettel már autonóm, és ha az eredeti rendszer kezdeti feltétele f(x_0)=p_0, és ehhez hozzávesszük, hogy legyen f_(n+1)(x_0)=x_0, akkor az új rendszer f_i megoldásai megoldásai lesznek az eredeti rendszernek is.