Lineáris algebra, függő vagy független?

Megnéztem a linket, de csak a feladatot látom, az órai jegyzetedet nem. Így izgalmas kihívás megválaszolni a kérdést, de azért megpróbálom.

Ha 5 vagy több vektorod van R4-ben, akkor azok garantáltan lineárisan összefüggőek. Kevesebb (azaz pl. 3) vektor esetén van értelme feltenni a kérdést, hogy lineárisan összefüggőek vagy függetlenek.

Szorozd be az első vektort a1-gyel (egy valós számot jelölő betűvel), a másodikat a2-vel, a harmadikat pedig a3-mal. Add össze ezeket, és írd fel azt az egyenletet, aminek az egyik oldalán ez a szorzatösszeg szerepel, a másikon pedig nulla - pontosabban az adott vektortér nullvektora, jelen esetben a (0,0,0,0).

Ezt az vektoregyenletet átírhatod 4 db "sima" egyenletté. Az első komponensek adják ki az első egyenletet, a második komponensek a másodikat stb.

A Te példádban az első egyenlet a következő lesz:

a1*1 + a2*4 + a3*5 = 0

A második pedig: a1*2 + a2*3 + a3*8 = 0

A harmadikat és a negyediket próbáld meg magadtól!

Állj neki az egyenletrendszer megoldásának. Két végkifejlet lehetséges.

Első eset: Azt kapod eredményül, hogy a1=a2=a3=0 (azaz mindhárom együttható nulla). Ez esetben a vektorok lineárisan függetlenek.

Második eset: Azt kapod eredményül, hogy az együtthatók közül legalább az egyik nem nulla (vagy nem feltétlenül nulla). Ez esetben a vektorok lineárisan összefüggőek.