Igazoljuk, hogy öt négyzetszám között van vagy öttel osztható, vagy van kettő, amelyek különbsége 10-el osztható?

A szám maga, ha 5-tel osztod 5 féle maradékot adhat (0,1,2,3,4). Ha négyzetre emeled, a maradékok: 0, 1,4,9 (4),16 (1),lehetnek.

Tehát az öt szám közül vagy van olyan, ami 0 maradékot ad (és akkor 5-tel osztható), vagy legalább 2 olyan van, ami 1 vagy 4 maradékot ad, és akkor a különbségük megint csak osztható 5-tel. De a két azonos maradékot adó szám vagy páros, vagy páratlan (mindkettő), ezért 2-vel is osztható, ezért teljesül a 10-zel való oszthatóság.

Talán egy kicsit átláthatóbb a megoldás, ha 10-es maradékokat vizsgálunk, nem 5-öst.

Egy négyzetszám 10-zel osztva 0,1,4,5,6,9 maradékokat adhat. Ha van olyan, ami 0-t vagy 5-öt, akkor az első feltétel teljesül. Ha nincs ilyen, akkor a skatulyaelv szerint van kettő, aminek azonos a 10-es maradéka, tehát különbségüknek 0.