Hány négyzetszám kell ahhoz hogy biztosan legyen köztük kettő amelyek különbsége osztható 3mmal?

a² - b² = (a+b)(a-b)

a és b ilyenek lehetnek: 3k+0, 3k+1 vagy 3k+2

Csináljunk belőlük egy táblázatot az összegeik meg a különbségeik modulójával, vagyis hogy azok milyen 3k+n alakúak. A lenti x/y-ban x az összeg, y pedig a különbség modulója:

          3k+0 3k+1 3k+2

3k+0     0/0    1/2    2/1

3k+1     1/1    2/0    0/2

3k+2     2/2    0/1    1/0

Ha itt bárhol 0 van, az ahhoz tartozó négyzetszám különbség osztható lesz 3-mal. Az látszik, hogy

- ha bármelyik 3k+n-ből kettő van, akkor már a különbségük 3-mal osztható lesz

- ha van +1-es és +2-es is, akkor az összegük 3-mal osztható lesz.

Vagyis a legtovább akkor lehet elmenni, ha az első négyzetszám 3k+0 alakú, a második 3k+1 vagy 3k+2. Ez 2 négyzetszám eddig. Ekkor már bármilyen 3k+n alakú szám is lesz a harmadik (akár +0, akár +1, akár +2), kijön belőlük 3-mal osztható különbség.

Tehát a válasz 3.