Igaz-e, hogy hét négyzetszám között mindig van kettö olyan, melyek különbsége osztható 10-zel? Magyarázat!

a² - b² = (a+c)·(a-b)

Ha a és b párosak, összegük is és különbségük is páros. Ugyanez igaz akkor is, ha mindkettő páratlan. A 7 szám között tuti van legalább 4 azonos paritású, azok közül választva bármelyik kettőt, a kettővel való oszthatóság meglesz (a 4-gyel oszthatóság is egyébként).

5-tel oszthatóság:

Lehet 5n+0, 5n+1, 5n+2, 5n+3, 5n+4 alakú a 4 egyforma paritású szám.

- Ha lenne köztük 2 egyforma alakú, akkor azok különbsége osztható lesz 5-tel.

- Ha mind a 4 különböző alakú, akkor az alakok a fenti 5 közül 4 félék lesznek. Öt eset van:

-- nincs 5n+0: 5n+2 + 5n+3 osztható 5-tel

-- ugyanez a helyzet, ha nincs 5n+1 vagy nincs 5n+4

-- ha nincs 5n+2 vagy nincs 5n+3, akkor pedig 5n+1 + 5n+4 osztható 5-tel

Kész.