Van-e olyan p, q, r, s prímszám, amelyre p+q+r+s prím és p^2+qs és p^2+qr négyzetszám?

Van, és az egyik prímnek 2-nek kell lennie, így lesz a 4 szám összege páratlan (a 2 kivételével minden prím páratlan). Persze az is lehet, hogy közülük három is egyenlő lesz 2-vel.

Tovább nem jutottam, de biztos vannak ilyen prímek, ugyanis ugyanezt a feladatot megtaláltam "határozzuk meg az összes olyan..." kezdettel is, csak megoldás nem volt mellé.

Bocsi, hogy nem tudtam érdemben segíteni (bár ki tudja).

Ahogy az első válaszoló is írta, az egyik prím 2 kell legyen (hogy az összeg páratlan legyen).

A négyzetszámok legyenek (p+a)² és (p+b)²

(p+a)² = p² + qr     =>   a(2p+a) = qr

(p+b)² = p² + qs     =>   b(2p+b) = qs

a és b páratlan kell legyen. Ha ugyanis valamelyik páros (2k) lenne, akkor 2k·(2p+2k) = 4k(p+k) két prímszám szorzata csak úgy lehet, ha mindkét prím a 2, de akkor k=1 és p=0 kellene legyen, de a 0 nem prím.

Mivel tehát qr és qs is páratlan, ezért q,r,s páratlanok, vagyis p-nek kell 2-nek lennie, 2p = 4:

a(4+a) = qr

b(4+b) = qs

Mivel q és r is prím, ezért a(a+4) háromféleképpen lehet egyenlő q·r-rel:

- a=1, a+4=qr

- a=q, a+4=r

- a+4=q, a=r

a=1: Mivel a+4=1+4=5 prímszám, az nem lehet qr.

Tehát csak a másik két eset lehetséges, vagyis az egyik tényező a q, másik az r. Teljesen hasonlóan ugyanígy alakul b(b+4)=qs is: b=q és b+4=s vagy fordítva.

Mindkét szorzatban van q, ez két módon lehet:

1) a=b=q

Ekkor a+4 = b+4 = r = s

Vagyis a prímek: 2, q, q+4, q+4

Ezek összege: 3q+10, prím kell legyen

ahol q olyan prím, aminél q+4 is prím.

A megoldások pl. ezek:

q=3, r=s=7, 2+3+7+7 = 19, prím (a négyzetszám: (2+3)²)

q=7, r=s=11, 2+7+11+11 = 31, prím (a négyzetszám: (2+7)²)

q=19, r=s=23, 2+19+23+23 = 67, prím (a négyzetszám: (2+19)²)

stb.

2) Lehet keresztben is a két q:

a=q, a+4=r

b=s, b+4=q

Ezt az esetet azért érdemes megnézni, mert a feladat szövegét lehet úgy is érteni, hogy a négy prím különböző kell legyen, és az előző megoldások nem olyanok voltak.

Vagyis a prímek most: 2, s, q=s+4, r=s+8

Ezek összege: 3s+14 is prím kell legyen

Ahol s olyan prím, aminél a 4-gyel valamint 8-cal nagyobb szám is prím.

Van ilyen: 3,7,11

A prímek tehát 2,3,7,11

Összegük = 3·3+14 = 23, prím, tehát ilyen megoldás is van.

(a négyzetszámok (2+3)²=2²+3·7 valamint (2+7)²=2²+7·11)

Több ilyen viszont nincs: Ugyanis az s prím kétféle alakú lehet:

a) s=3k+1: ekkor s+4 = 3k+5, s+8 = 3k+9 nem lehet prím (osztható 3-mal)

b) s=3k+2: ekkor s+4 = 3k+6 nem lehet prím

Vagyis egyedül a 3,7,11 olyan prím hármas, hogy közöttük 4 a különbség.

Tehát ha a feladat szövege azt is kimondaná, hogy p,q,r,s különbözőek, akkor egyetlen megoldás lenne.