Számtani sorozatos feladatban kéne segítség?!

Először is nézzük meg alaposan a feladatot.

d=10 n=45 an=459, ami azt jelenti, hogy 10 a váltó, a 45. tag pedig 459. Tehát

a45=a1+44d, ebből behelyettesítéssel megkapjuk a sorozat első elemét.

459=a1+44*10, 459-440=a1, azaz az első tag 19.

Az első n elem (=45) összegére van egy képlet, ami úgy szól, hogy

Sn=[2a1+(n-1)d / 2] *n, azaz

S(45)= [2*19+ 44*10/2]* 45 =(38+440/2) *45, ami 10755.

Remélem segíthettem.

Az első még akár jó is lehetne, hogyha a sorozatnak lenne 0. eleme, de nincs, mivel a (számtani) sorozatok tagjainak sorszáma mind pozitív egész. Emiatt az első tag a1, és a képlet helyesen:

an=a1+(n-1)*d

Ennek a magyarázata a következő; rekurzív módon be lehet látni a fenti egyenlőséget; definíció szerint

a2=a1+d, szintén definíció szerint:

a3=a2+d, viszont a2 értékét fent láthattuk, tehát a3=(a1+d)+d=a1+2d, a4-re ugyanezt el lehet játszani:

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, és így tovább, és azt lehet észrevenni, hogy a1-hez mindig 1-gyel kevesebb d-t kell hozzáadni, mint a sorozat sorszáma, tehát:

an=a1+(n-1)*d

Ez a képlet egyébként tetszőleges tagra általánosítható:

an=am+(n-m)*d, például ha a 8. tagot akarod megtudni a 3. tag és a különbség ismeretében, akkor:

a8=a3+(8-3)*d, vagyis a8=a3+5d

A feladathoz most nekünk elég az első képlet;

an=a1+(n-1)*d, innan d, n és an adott, tehát:

459=a1+(45-1)*10, ezt megoldva a1-re 19=a1-et kapunk, ez lesz a sorozat első eleme.

Az összeget egy Gauss-anekdota alapján tudjuk könnyen meghatározni; írjuk le egymás mellé a sorozat tagjait, aztán alá írjuk őket visszafelé:

19, 29, 39, 49, ..., 429, 439, 449, 459

459, 449, 439, 429, ..., 49, 39, 29, 19

Ha az egymás feletti számokat összeadjuk, akkor 478-at kapunk, ez nem véletlenül van így, erre kicsit később visszatérek. Tehát ezzel kaptunk 45 darab 478-as eredményt (mivel 45 számunk volt alapból, így 45 pár képződött), ezek összege pont 45*478=21.510, viszont ebben az eredményben a sorozat minden tagját kétszer számoltuk bele, ezért ezt el kell osztanunk 2-vel, hogy megkapjuk a tagok összegét, ezért a keresett összeg a 21.510/2=10.755 lesz.

Hogy miért ugyanannyi oszloponként az összeg, könnyen látható, hogyha először átírunk minden tagot a1 és d függvényében:

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, ..., a1+(n-4)*d, a1+(n-3)*d, a1+(n-2)*d, a1+(n-1)*d

A második sorban ugyanezt csináljuk,viszont ott an-től indulunk, és minden egyes tagnál 1-gyel több d-tvonunk le:

an, an-d, an-2d, an-3d, ... an-(n-4)*d, an-(n-3*d), an-(n-2)*d, an-(n-1)*d

Ha ezeket oszloponként összeadjuk, akkor mindig a1+an-et kapunk eredménynek, mivel a d-k kiütik egymást. Ezekből összesen n darab van, tehát ezek összege n*(a1+an), viszont itt is minden tag kétszer lett számolva, tehát osztani kell 2-vel, így kapjuk az n*(a1+an)/2 összegképletet az első tagtól az n-edikig. Esetünkben: 45*(19+459)/2=10.755, tehát ugyanaz jött ki.

Ez az összegképlet még módosítható annak tudatában, hogy an=a1+(n-1)*d, ekkor:

n*(a1+(a1+(n-1)*d)/2 = n*(2*a1+(n-1)*d)/2, tehát a sorozat tagjainak összege az első tagtól az n-edikig úgy is kiszámolható, hogy nem számoljuk ki az n-edik tagot.