Határozd meg azokat az m valós számokat, amelyre a d1 : -2x-my+3=0 es d2: mx+y-5=0 egyenletű egyenesek párhuzamosak?

Két egyenes párhuzamos, hogyha az azokból alkotott kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek nincs megoldás (máskülönben lenne metszéspontjuk).

-2x-my+3=0 }

mx+y-5=0}

Első körben nézzük meg, hogy ha m=0, akkor mi a helyzet:

-2x+3=0} -> x=3/2

y-5=0 } -> y=5

Tehát ha m=0, akkor nem párhuzamosak az egyenesek.

Ha m 0-tól különböző, akkor szorozzuk meg a második egyenletet m-mel:

-2x-my+3=0 }

m^2*x+my-5m=0},

majd adjuk össze a két egyenletet, ekkor my kiesik:

m^2*x-2x+3-5m=0 |kiemelünk x-et

x*(m^2-2)+3-5m=0, erre

x=(5m-3)/(m^2-2) adódik. Értelemszerűen m^2-2 nem lehet 0, így m értéke nem lehet gyök(2) és -gyök(2), mivel akkor 0-val kellene osztani. Viszont nekünk pont erre van szükségünk, mivel azt akarjuk, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása. Tehát m=gyök(2) és m=-gyök(2) esetén párhuzamosak lesznek az egyenesek.

Nézzük meg ugyanezt úgy, hogy az x-es tagok esnek ki, ehhez az első egyenletet m-mel, a másodikat 2-vel szorozzuk:

-2mx-m^2*y+3m=0 }

2mx+2y-10=0}

Összeadjuk a két egyenletet: -m^2*y+2y+3m-10=0, kiemelünk:

y*(-m^2+2)+3m-10, erre y=(10-3m)/(-m^2+2) adódik, itt is ugyanaz a történet.

Tehát m=gyök(2) és m=-gyök(2) esetén leszek párhuzamosak.

Ha két egyenes párhuzamos, akkor az x és y együtthatóinak aránya egyenlő:

-2/-m=m/1 ⇒ m²=2 ⇒ m=±√2