Írd föl az x^2+y^2-5x=0 egyenletű kör P (1;2) pontján átmenő érintő egyenletét! Ezt hogyan kell megoldani? x^2-5x+y^2=0 Eddig megvagyok de innentől sötétség.

Átalakítod teljes négyzetes alakra a kör egyenletét:

x^2-5x=(x-2,5)^2-6,25 (ha kibontod a zárójelet, visszakapod így az eredetit)

y^2=y^2, ezt nem bántjuk, tehát

(x-2,5)^2-6,25+y^2=0, vagyis

(x-2,5)^2+y^2=6,25, ebből kiolvasható a kör középpontjának koordinátái: K(2,5;0). Ezek szerint a PK szakasz a kör egy sugara, a keresett egyenes erre lesz merőleges, tehát a PK-> vektor az egyenes normálvektora. PK->=(-1,5;-2), de tudjuk, hogy ennek a skalárszorosa is normálvektor lesz, így érdemes (-2)-vel szorozni, ekkor az n(3;4) vektort kapjuk. Innen már csak az a kérdés, hogy mi annak az egyenesnek az egyenlete, melynek normálvektora n(3;4) és áthalad a P(1;2) ponton.

Úgy is meg lehet oldani (ami sokkal általánosabb) hogy a) megnézed hogy a függőleges egyenes x=1 megoldás-e, 1+y^2-5=y^2-4 ennek két metszéspontja van a körrel tehát nem érintő.

Hát akkor y=mx+(2-m) az egyenes egyenlete, megnézed hol metszi a kört, x^2+(mx+(2-m))^2-5x=0 ez egy másodfokú egyenlet, egy megoldása akkor van ha a diszkriminánsa 16m^2-24m+9=0, ez m=3/4-nél van. y=3/4x+5/4.

Ugyanígy megoldható akkor is ha P nem a körön fekszik, ilyenkor m-re nem egy megoldás lesz, nulla ha a körön belül van ilyenkor nincs érintő, kettő ha a körön kívül.