Hogy jön ki a jobbról és a balról közelített határérték?

Ha jól értem, akkor ez a feladat:

lim(x->0+) 5(5^(-[1/x])-2) és

lim(x->0-) 5(5^(-[1/2])-2)

Mindkét esetben igazából csak azt nézzük, hogy a kifejezésnek milyen az előjele; ha jobbról tartunk 0-hoz, akkor x egy 0-hoz "nagyon-nagyon-nagyon-...-nagyon" közel álló, de POZITÍV szám, ebben az esetben az 1/x a +végtelenbe fog tartani, emiatt az 5^(-1/x)-ről nem nehéz kitalálni, hogy 0-hoz fog tartani, innen pedig a határérték így néz ki: 5*(0-2)=5*(-2)=-10, tehát

lim(x->0+) 5(5^(-[1/x])-2)=-10

Ha balról tartunk a 0-hoz, akkor a x negatív lesz, vagyis 1/x a -végtelenbe fog tartani, emiatt 5^(-1/x) a végtelenbe fog, ha ebből kivonunk 2-t, majd megszorozzuk 5-tel, ugyanúgy végtelen marad, tehát

lim(x->0-) 5(5^(-[1/2])-2)=végtelen

Ez azt is jelenti, hogy a függvénynek 0-ban nincs határértéke (mivel ahhoz a bal és jobb oldali határértéknek meg kellene egyeznie).