Mit Jelent az, hogy egy függvény egy pontban folytonos? Mit jelent a deriválásban az hogy egy pontban deriválható? Hogy lehet egy függvénynek egy pontban határértéke?

[link]

Keresd meg a pontokat, ahol a függvény nem folytonos

"A folytonosság nem egy olyan dolog ami az egész függvényre vonatkozik?"

Igen is, meg nem is. Az egy pontban való folytonosság és a (függvény) folytonosság az két különböző definíció, noha szoros kapcsolatban állnak egymással. Nevezetesen: egy függvény pontosan akkor folytonos ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos (ez nem állítás hanem definíció, tehát nem kell/lehet belátni).

Például: a konstans függvény folytonos, mert az értelmezési tartományának minden pontjában az. Az előjel függvény nem. (Mi a helyzet az 1/x-szel?)

"A függvénynek egy pontban hogyan lehet határértéke?"

Ha minden, ahhoz a ponthoz tartozó sorozatnak van határértéke.

"Én ebből azt nem értem, hogy egy pontban."

az elég nagy baj, ugyanis a folytonos az alapvetően a függvény adott pontjára definiált fogalom. aztán van olyan függvény, aminek minden pontjára igaz, van olyan aminek bizonyos pontjaira nem és van olyan is, aminek egyetlen pontjára sem. (bezonyám)

Pff. Bár nem a folytonos függvény volt a kérdésed, úgy látszik az angol és a magyar elnevezések eltérnek (legalábbis a wikiben), míg a magyar szerint az 1/x szakad a 0-ban, az angol szerint nem.

(érdemes lehet rákérdezned a tanárodnál)

"A matematikai analízisben egy függvény szakadási pontjának nevezünk egy u számot, ha u benne van az értelmezési tartomány lezártjában, de u-ban a függvény nem folytonos, vagy nincs értelmezve."

(magyar wiki)

"A function is then continuous if it has no holes or jumps: that is, if it is continuous at every point of its domain. " (angol wiki)

"Pff. Bár nem a folytonos függvény volt a kérdésed, úgy látszik az angol és a magyar elnevezések eltérnek (legalábbis a wikiben), míg a magyar szerint az 1/x szakad a 0-ban, az angol szerint nem."

nem.

az 1/x a [0] pontban nincs értelmezve. ezt a magyar szakadási pontnak hívja.

az angol erről nem nyilatkozik, csak arról, hogy az értelmezi tartományában (mi minden, kivéve a nullát) mindenhol folytonos. ami igaz is.

Igen, lassan tisztul nekem is. Tehát az 1/x-nek van szakadási pontja*, de folytonos a _magyar_ szerint.

*néhány magyar szerint, más magyar tankönyvek szerint nem