Matek, mátrixok! Ha független a vektorrendszer, akkor det (A) nem lehet 0?

Ha a vektorok függetlenek, akkor a mátrix invertálható:

A·A⁻¹ = I

Azt is tudjuk, hogy det(A·B)=det(A)·det(B)

Ezekből:

det(A·A⁻¹) = det(I)

det(A)·det(A⁻¹) = 1

ezért det(A) (sem det(A⁻¹)) nem lehet nulla.

Ha a det(A*B) felbomtast nem tanultatok, akkor hasznalj Gauss-eliminaciot: azt valszeg tanultatok, hogy a determinans nem valtozik, ha valamelyik sor valahanyszorosat hozzaadod egy masik sorhoz. Tehat a Gauss eliminacio nem fogja megvaltoztatni a determinanst.

Hasonloan, ha a vektoraid figgetlenek voltak, akkor ha az egyik vektorhoz hozzaadod egy masik valahanyszorosat, az tovabbra is fuggetlen marad (pl. konnyen latszik, hogy tovabbra is ugyanakkora teret feszitenek). Tehat a Gauss eliminavioval kapott uj vektorok is pontosan akkor lesznek fuggetlenek, ha az eredetiek is azok voltak. A Gauss-eliminacio egy haromszog matrixot ad, annak meg pontosan akkor nemnulla a determinansa, ha a foatloban csupa nemnulla ellem van. Ez meg pontosan akkor van, ha a sorok lin fuggetlenek

Arrol, hogy miert lesznek fuggetlenek a Gauss eliminacio utan:

Van eredetileg n darab fuggetlen vektorod (pl. v_1, v_2, ..., v_n), akkor ezek egy n dimenzios teret feszitenek.

Most tegyuk fel, hogy pl. a v_1- hez hozzaadok k*v_2-t, ahol a k valami valos szam. Tehat az uj vektor-csaladom v_1+k*v_2, v_2, ..., v_n

Azt bizonyitjuk be, hogy ez az uj vektor-csalad ugyanugy fesziti azt az n-dimenzios teret, amit az eredeti vektorok. Ha ezt belattuk, akkor keszen vagyunk, hiszen az uj vektor-csaladunk is n db vektorbol allnak, egy (legalabb) n dimenzios teret feszitenek, ez meg csak ugy lehet, ha fuggetlenek.

Legyen x egy tetszoleges pont, ami benne van az eredeti vektorok altal feszitett terben. Ekkor x eloall, mint a v_1, v_2,.., v_n vektorok egy linearis kombinacioja, pl. x = a_1*v_1 + a_2*v_2 + ... + a_n*v_n

Viszont akkor az x az uj vektorok egy lin kombinaciojakent is eloall, hiszen x = a_1*(v_1 + k*v_2) + [a_2 - a_1*k]*v_2 + a_3*v_3 + ... + a_n*v_4.