Mikor lesz lineárisan függő, illetve független a következő vektorrendszer az x valós paraméter függvényében?

Ezt használtam: [link]

Írd fel egy mátrix soraiba a vektorokat:

1, -1, 2, 1

2, -1, x+3, x

1, 0, x+1, 2x-2

Végezd el rajta a Gauss-elminációt:

1. főelem az 1

A 2. sorból az 1. sor 2-szeresét kell kivonni, a 3. sorból az 1. sor 1-szeresét kell kivonni.

1, -1, 2, 1

0, 1, x-1, x-2

0, 1, x-1, 2x-3

2. főelem az 1

A 3. sorból a 2. sor 1-sezresét kell kivonni.

1, -1, 2, 1

0, 1, x-1, x-2

0, 0, 0, x-1

Kész a Gauss-elmináció.

A kapott mátrix nem-0 sorainak száma a vektorrendszer rangja.

A rang pedig nem más, mint a vr. által generált altér dimenzióinak száma.

A rang pontosan akkor 3, ha a 3 vektor lineárisan független.

A rang pontosan akkor 2, ha tetszőleges 2 vektor kiválasztva a vr-ből lineárisan független vr-t kapunk, DE a 3. vektor hozzávéve a vr. lineárisan összefüggő. Más szóval bármelyik vektort a 3 közül elő lehet állítani a másik 2 vektor lineáris kombinációjaként.

Az 1. sor nem 0-sor, ezért a rang legalább 1. És mivel sem a 2. sort, sem a 3. sort nem lehet előállítani az első sorból skalár-szorzással, ezért a rang legalább 2.

A 2. sor mikor 0-sor?

Soha, mert a 2. elem 1.

A 3. sor mikor 0-sor?

Ha x-1 = 0, azaz x = 1.

Tehát a vr. rangja pontosan akkor 2, ha x = 1.

Minden más esetben 3.

Az eredeti feladatra levetítve:

A vr. pontosan akkor lineárisan függő, ha x = 1.

Különben pedig lineárisan független.

A függőség ellenőrzése:

x = 1 esetén: (1, -1, 2, 1), (2, -1, 4, 1), (1, 0, 2, 0)

(1, 0, 2, 0) = (2, -1, 4, 1) - (1, -1, 2, 1)

Azaz 1 * (1, 0, 2, 0) - 1 * (2, -1, 4, 1) + 1 * (1, -1, 2, 1) = (0, 0, 0, 0)