Létezik-e olyan p egész szám paraméter, amelynél a következő másodfokú egyenletnek két egyenlő gyöke van? X^2- (5+p) x+4=0

Paraméteres bárminél (ezesetben másodfokú egyenlet) úgy kell kezelni a paramétert, mintha egy szám lenne. Ismerjük ezt a számot csak - egyelőre - nem érdekel mi.

A diszkriminánsod a gyök alatti rész, de gyök nélkül(!)

Nevezetesen: b^2-4ac

Ha a diszkrimináns nulla, akkor lesz a másodfokú egyenletednek két egyenlő gyöke.

Az _a_ ugye a négyzetes tag "száma", ez itt egy.

A _b_ az első hatvány tagja, ez itt (5+p).

A _c_ pedig a konstans, ez itt 4.

A diszkriminánsod tehát:

(5+p)^2-4*1*4

Ebből, és a tényből, hogy két egyenlő gyök úgy lesz, hogy ha a diszkrimináns nulla, kijön egy újabb másodfokú egyenlet:

(5+p)^2-(4*1*4) = 0

p-re lerendezed, kapsz két olyan p-t amire az egyenlet 0. Ha a két p közül bármelyik egész szám, akkor létezik, ha nem, akkor nem létezik.

Az eredeti egyenlet:

X^2- (5+p) x+4=0.

D=sqrt(b^2-4ac)

Ha D=0, az egyenletnek két egyenlő gyöke van.

Jelen esetben

D=(5+p)^2-4*1*4=p^2+10p+25-16

D=p^2+10p+9=0

Ennek az egyenletnek a megoldásai p-re

p=(-10+-sqrt(100-36))/2=(-10+-sqrt(64))/2=-5+-4

vagyis

p1=-9, p2=-1.

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve p1=-9-et

x^2-(5-9)p+4=0

x^2+4p+4=0

(x+2)^2=0 vagyis x1=x2=-2.

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve p1=-1-et

x^2-(5-1)p+4=0

x^2-4p+4=0

(x-2)^2=0 vagyis x3=x4=+2.

==========

Szavakban:

Írd fel a diszkriminánst a paraméter függvényében!

Kapsz egy egyenletet a paraméterre,

ami megadja, hogy milyen értéke mellett lesz a diszkrimináns nulla.

Oldd meg ezt az egyenletet!

Helyettesítsed vissza a paramétert az eredeti egyenlet diszkriminánsába!