Matematika logaritmusos egyenlőtlenség kikötés?

A logaritmus numeruszában pozitív számnak kell szerepelnie.

Tehát a (3x+4)/(2x-1) > 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

Az x alapból nem lehet 1/2; ezenfelül egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek.

Nem, nem mindegy, sőt, ha így kezded el, akkor csúnyán gyököket fogsz veszteni, mivel a fenti átalakítás csak akkor érvényes, hogyha a számláló és a nevező is pozitív, de a számláló és a nevező lehet negatív is.

De nézzük, hogy konkrétan mi a helyzet:

Az eredeti egyenletben ezt kell felírnunk:

(3x+4)/(2x-1)>0

Ez akkor fog teljesülni, hogyha a számláló és a nevező előjele azonos:

1) eset: mindkettő pozitív:

3x+4>0 -> x>-4/3, 2x-1>0 -> x>1/2, ezeknek egyszerre kell teljesülnie, tehát x>1/2 lesz az értelmezési tartomány.

2) eset: itt csak megfordulnak a relációs jelek, így x<-4/3 lesz az értelmezési tartomány.

Ha a szétbontottra írod fel, akkor azt kapod, hogy csal x>1/2 jó, pedig az előbb láttuk, hogy az x<-4/3 is jó nekünk.

Szóval az "összeolvasztás" ekvivalens lépés, a "szétszedés" nem ebben az esetben.

Erre mondtam azt, hogy az összeolvasztás ekvivalens lépés, a szétbontás pedig nem. Ha az eredetire felírod a kikötést, akkor az így keletkezettnek bár megnő az értelmezési tartománya, azzal nincs baj, mivel az eredetivel kell úgyis összevetnünk a végeredményt. Akkor van baj, hogyha a keletkezőnek beszűkül az értelmezési tartománya, mert akkor a végeredmény adott esetben ki se jöhet. Ilyen például az is, amikor ez az egyenlet:

2x^2=x^2+x, és osztunk x-szel:

2x=x+1, ekkor a keletkező egyenletnek megváltozik az értelmezési tartománya; az eredetinek R volt, a soron következőnek R/{0} lesz, mivel ha x-szel osztunk, akkor annak az értéke lehet 0, így a következő sort csak akkor kaphatjuk meg, hogyha nem 0-val osztottunk. A helyzet viszont az, hogy az eredetinek megoldása lesz a 0, de ha így számolunk (esetszétválasztás nélkül), akkor nem fogjuk megkapni az eredményt.

Ebben az esetben is ugyanaz a gond ha szétszeded, akkor elvesznek a megoldások. Ha viszont összegyúrod őket, akkor nem fognak elveszni, sőt, még egy rakat hamis gyököt is nyersz, de azzal nincs baj, mert ha az eredeti értelmezési tartományba nem esik bele, akkor úgyis kiderül, hogy hamis gyök.