Bizonyítsuk be, hogy a változók lehetséges értékeinél fennáll az alábbi egyenlőtlenség?

Hogyha valamelyik oldalt meg tudjuk növelni egy egyszerűbb taggal, és arra belátjuk, hogy igaz, akkor az eredetire is igaz lesz. Osszunk 2-vel:

(a^4+b^4)/2 + 1 >= 2ab

Triviális, hogyha a*b negatív, akkor az egyenlőtlenség igaz lesz. Ha viszont pozitív (vagy legalábbis nemnulla), a bal oldal tudjuk csökkenteni a számtani-mértani közepek közti összefüggés alapján:

a^4+b^4/2>=gyök(a^4*b^4)=a^2*b^2:

a^2*b^2 + 1 >= 2ab

Kivonunk 2ab-t:

a^2*b^2 - 2ab + 1 >= 0

Ezt egy másodfokú parametrikus egyenlőtlenségnek fogjuk fel, ahol a az ismeretlen és b a paraméter (lehetne fordítva is, teljesen mindegy:

a=(2b + gyök(4b^2-4b^2))/(2b^2)=2b/(2b^2)=1/b, az egyenlet másik gyöke is ugyanez, tehát a bal oldalt át tudjuk írni így:

b^2*(a-1/b)^2 >=0

Ez pedig biztos, hogy minden a;b-re igaz lesz. Hogy mikor lesz egyenlőség, illetve mi van b=0 esetén, gondold meg.