Alábbi egyenlőtlenség? Kettes alapú logaritmus (x+1) >= (x+1) alapú logaritmus (16)

Kezdjük a kikötéssel: x>-1, de x=/=0

Tudjuk, hogy log(a)[b]=1/log(b)[a], tehát a jobb oldalt ekvivalensen átírhatjuk úgy, hogy log(x+1)[16]=1/log(16)[x+1], tehát az egyenlőtlenség:

log(2)[x+1]>=1/log(16)[x+1]

Azt is tudjuk, hogy log(a)[b]=log(a^k)[b^k] (^k: hatványkitevő), tehát átírhatjuk az egyenlőtlenséget így:

log(16)[(x+1)^4]>=1/log(16)[x+1]

A III. logaritmusazonosság alapján a bal oldalon "lejön" a kitevő:

4*log(16)[x+1]>=1/log(16)[x+1]

Legyen log(16)[x+1] értéke k:

4*k>=1/k

Ha k>0, akkor beszorozhatunk következmények nélkül:

4*k^2>=1, erre k>=1/2-et kapunk.

a k<0, akkor beszorzásnál fordul a reláció:

4*k^2<=1, erre k<=-1/2-et kapjuk.

Már csak ezeket az egyenlőtlenségeket kell megoldani?

log(16)[x+1]>=1/2, vagyis x+1>=4, tehát x>=3 az egyik megoldás

log(16)[x+1]<=-1/2, vagyis x+1<1/4, vagyis x<-3/4, de a kikötés alapján x>-1, tehát a -1<x<-3/4 is megoldása lesz az egyenlőtlenségnek.