Érdekes egyenlőtlenségek megoldásában tud segíteni valaki? Valamelyikben?

Az első talán még nehéz, a másik kettő viszonylag könnyen megoldható:

1. Vonjunk köbgyököt mindkét oldalból; az egyszerűség kedvéért a számláló szorzótényezői legyenek x, y és z:

köbgyök(x*y*z)/köbgyök(a*b*c)>=3

Most vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor megfordul a reláció:

köbgyök(a*b*c)/köbgyök(x*y*z)<=1/3

A gyökvonás azonosságai alapján írjuk át a bal oldalt:

köbgyök((a/x)*(b/y)*(c/z))<=1/3

Ha a bal oldalt tudjuk becsülni egy annál nagyobb és egyszerűbb kifejezéssel, és arra belátjuk, hogy igaz, akkor az eredetire is igaz lesz. A bal oldalon három szám mértani közepe látható, és tudjuk, hogy a mértani közép mindig kisebb vagy egyenlő a számtani középnél, ezért mi most a bal oldalt leváltjuk a 3 szám számtani közepére:

((a/x)+(b/y)+(c/z))/3<=1/3, vagyis

(a/x)+(b/y)+(c/z)<=1

Ha be tudjuk látni, hogy a tagok egyenként legfeljebb 1/3-ot vesznek fel, akkor nyerők vagyunk. Nézzük az első tagot:

a/(a^2+a+1)<=1/3

3a<=a^2+a+1

0<=a^2-2a+1

0<=(a-1)^2

Látható, hogy ez minden a-ra igaz. Ugyanez a helyzet a másik két taggal is, tehát legfeljebb 1/3 lehet az értékük, így összegük legfeljebb 1. Egyenlőség akkor van, hogyha a=b=c=1.

A másik kettő egyszerű algebrai átalakításokkal kijön, az egyiknél érdemes másodfokú parametrikus egyenlőtlenségként kezelni az egyenletet (mindegy, hogy a-ra vagy b-re nézve), a másiknál annyi csavar van, hogy ha eljutsz idáig:

1+a^4>=a+a^3, akkor érdemes így eljárni:

a^4-a^3>=a-1

a^3*(a-1)>=a-1

és itt esetszétválasztunk:

-ha a>1, akkor a^3>=1, vagyis a>=1, tehát a>1

-ha a=1, akkor 0>-1, ez jó

-ha a<1, akkor a^3<=1, vagyis a<=1, tehát a<1.

Tehát tetszőleges a-ra igaz lesz az egyenlőtlenség.