Vázlatosan rajzoljuk le, majd számoljuk ki az egyenlőtlenségek által határolt síkidom területét?!

1.

[link]

Egyrészt ugye x nem lehet negatív, másrészt:

x > 1 esetén x > x^(2/3)

Tehát 0 <= x <= 1.

Osszuk fel két részre a feladatot, és csak a fölső alakzatot vizsgáljuk mostantól. Ha ennek meglesz a területe, azt megszorozva kettővel megkapjuk a végeredményt.

Az alakzat alsó határoló vonala az f(x) = gyök(x) függvény a [0; 1] intervallumon. Ezt az x = y^2 egyenlőségből kapjuk.

A felső határoló vonalához az y^2 = x^(2/3) egyenletet kell átalakítani: y = x^(1/3)

Tehát ez a vonal a g(x) = x^(1/3) függvény a [0; 1] intervallumon.

Az alakzat területének kiszámításához ki kell számolni a g(x) függvény görbéje alatti területet, majd ki kell belőle vonni az f(x) függvény görbéje alatti területet.

Az f(x) = x^(1/2) függvény primitív függvénye: F(x) = 2/3 * x^(3/2) + C

integrál(0, 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = 2/3

A g(x) = x^(1/3) függvény primitív függvénye: G(x) = 3/4 * x^(4/3) + C

integrál(0, 1) g(x) dx = G(1) - G(0) = 3/4

Tehát az alakzat felének területe: 3/4 - 2/3

Így az alakzat területe: T = 2 * (3/4 - 2/3) = 2 * (9/12 - 8/12) = 2/12 = 1/6

2.

[link]

Itt az ábra szerintem nem teljes, mert x > 1-re is jó, csak egyre jobban meg fogja közelíteni az "y" érték az x-tengelyt.

Illetve x <= 0-ra nincs értelme.

Tehát az x > 0 tartományt kell vizsgálni.

Most is vágjuk ketté az alakzatot az x-tengely mentén.

Ebben a példában az alsó határvonal maga az x-tengely lesz.

A felső határvonal pedig:

xy^2 = 1/1024

y^2 = 1/1024 * 1/x

y = 1/32 * 1 / gyök(x) = 1/32 * x^(-1/2)

Tehát az f(x) = 1/32 * x^(-1/2) függvény a [0; végtelen) intervallumon az alakzat fölső határvonala.

Az f(x) = 1/32 * x^(-1/2) primitív függvénye: F(x) = 1/16 * x^(1/2) + C

Az f(x)-et kell integrálni a [0; végtelen) intervallumon:

integrál(0, végtelen) f(x) dx = lim(a -> végtelen) integrál(0, a) f(x) dx =

= lim(a -> végtelen) [F(a) - F(0)] = lim(a -> végtelen) 1/16 * a^(1/2)

Ezzel az a probléma, hogy a határértéke végtelen. Szóval szerintem az alakzat területe is végtelen (?). De ebben bizonytalan vagyok...