2a^4+2a^2-1>= (3/2) * (a^2+a-1) Ebben az egyenlőtlenségben tud segíteni valaki?

2*a^4 + 2*a^2 - 1 ≥ 3/2*(a^2 + a - 1) ... *2

4*a^4 + 4*a^2 - 2 ≥ 3*a^2 + 3*a - 3 ... -3*a^2 - 3*a + 3

4*a^4 + a^2 - 3*a + 1 ≥ 0

a^2*(4*a^2 + 1) - 3*a + 1 ≥ 0

Teljes négyzetté alakítás:

a^2*(4*a^2 - 4*a + 1) + 4*a^3 - 3*a + 1 ≥ 0

a^2*(2*a - 1)^2 + 4*a^3 - 3*a + 1 ≥ 0

a^2*(2*a - 1)^2 + a*(4*a^2 - 3) + 1 ≥ 0

a^2*(2*a - 1)^2 + a*(4*a^2 - 4*a + 1) + 4*a^2 - 4*a + 1 ≥ 0

a^2*(2*a - 1)^2 + a*(2*a - 1)^2 + (2*a - 1)^2 ≥ 0

(a^2 + a + 1)*(2*a - 1)^2 ≥ 0

A (2*a - 1)^2 tag mindig ≥ 0

{Egyenlőség esetén az első két gyök: a1 = 1/2, a2 = 1/2}

Már csak a (a^2 + a + 1) tagot kell megvizsgálni

(a^2 + a + 1)*(2*a - 1)^2 ≥ 0 <=> a^2 + a + 1 ≥ 0

a^2 + a + 1 ≥ 0

Egyenlőség esetén:

a3,4 = -1/2 ± [gyök(1-4)]/2 = -1/2 ± i*gyök(3)/2

A másik két gyök komplex szám.

Vizsgáljuk meg hogy a kifejezés mikor ≥ 0

Ha │a│ > 1, akkor a^2 > │a│, a^2 mindig pozitív ,tehát a^2 + a > 0, azaz akkor a^2 + a + 1 > 0 szintén igaz

Ha │a│ < 1, akkor a^2 < │a│, a^2 mindig pozitív, tehát akkor érvényes, hogy

a^2 + 1 > 1, és │a│ < 1, ebből következik:

a^2 + a + 1 > 0 szintén igaz

Ha a = 0, akkor a^2 + a + 1 = 1 > 0 szintén igaz

Ebből következik, hogy minden "a" ϵ R valós számra teljesül az adott egyenlőtlenség.

Egyenlőség esetén a polinom így néz ki:

[link]