N! <= ( (n+1) /2) ^n? Ez igaz?

Igen.

Kis számokra ellenőrizheted, nagy n-ekre pedig a jobb oldal kb. (e/2)^n -szer annyi, mint a faktoriális.

És ezt matematikai átalakításokkal is be lehet bizonyítani?

Amennyiben meg lehet úgy oldani, mint egy középiskolai (elemi algebrai) egyenlőtlenséget, akkor valaki megmutatná, hogyan kell?

Ha n = 0, akkor

0! = 1 ≤ ((0 + 1)/2)^0 = 1,

különben n-edik gyököt vonunk:

gyök[n](1*2*…*n) ≤ (n + 1)/2 = (n*(n + 1)/2)/n = (1 + 2 + … + n)/n,

ebből látszik, hogy ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség több számra, itt konkrétan az első n pozitív egész számra.

Erre pedig itten van többféle bizonyítás is, a legtöbb előadható középiskolás keretben, de természetesen nem kell elvárni, hogy diák megtanulja:

[link]

Talán ez a legszebb:

[link]

A 00:20-as állítása pedig ahogy elnézem a Stirling-formulára rímel, de ennek igazolása már bőven túlmutat a középiskolai tanulmányokon:

[link]

Amúgy ha a faktoriálist szokásos módon terjesztjük ki a nem negatív valós számokra, akkor a (0, 1) nyílt intervallumon nem lesz igaz ez az egyenlőtlenség:

[link]

Megpróbálom kicsit másképp: egy páratlan, ill. egy páros számra, aztán lehet általánosítani.

Legyen n=7

7! = 1*7 * 2*6 * 3*5 * 4 < 4^7 = 4*4 * 4*4 * 4*4 *4

(4*4-3*3)*(4*4-2*2)*(4*4-1)*4 < 4*4 * 4*4 * 4*4 *4 ; azaz minden szorzótényező kisebb a baloldalon (kiv.utolsó)

az (a-b)*(a+b)=a^2-b^2 alapján a=4, b=3, 2, 1

Legyen n=6

6! = 1*6 * 2*5 * 3*4 < 3.5^6 = 3.5*3.5 * 3.5*3.5 * 3.5*3.5

(3.5*3.5-2.5*2.5) * (3.5*3.5-1.5*1.5) * (3.5*3.5-0.5*0.5) < 3.5*3.5 * 3.5*3.5 * 3.5*3.5

azaz minden szorzótényező kisebb a baloldalon az (a-b)*(a+b)=a^2-b^2 alapján