Matek feladat: Egy baktériumpopuláció növekedése exponenciális: 100-ról 1000-re nőtt 48 óra alatt. Mennyi volt 24 óra után?

100*negyzetgyok(10)=316 (kerekitve, mert bakteriumbol csak egesz szamu ertelmes)

Jozan paraszti esszel, kihasznalva, hogy a 24 ora az 1 nap, aminek a 2 nap pont a duplaja:

Van 100 valamim, ami exponencialisan 2 egysegnyi ido alatt a 10-szeresere no. Mivel exponencialis, ez azt jelenti, hogy azonos ido alatt mindig ugyanannyiszorosara no. Ha 2 egyseg alatt nott 10-szeresere, akkor 1 egyseg alatt gyok(10)-szeresere kell, hogy nojon, mert ugy lesz a 2. nap vegere gyok(10)*gyok(10)=10-szeres.

Szoval N nap elteltevel 100*(gyok(10))^N lesz.

Butan, de altalanosan, ha nem tudjuk kihasznalni az elozo tulajdonsagot, mert rondak a szamok. (marpedig az eletben altalaban "rondak" a mert eredmenyek):

Legyen p0 a kezdo populacio merete, a az alap, t pedig az ido. Ehhez hasonloan t0=0 (itt kezdjuk el merni az idot), p1, p2 a ket kesobbi populacio merete, t1, t2 pedig a t0-tol az adott meresi pontig eltelt ido. Az alap valtozatlan, mert exponencialisan no.

Szoval:

p(t)=p0*a^t osszefugges szerint no

p0=p0*a^t0=p0 (mert t0=0)

p1=p0*a^t1

p2=p0*a^t2

Ez eddig ugye eleg egyszeru. Most a p1 a kerdes, a tobbit tudjuk, fejezzuk hat ki ezt, mondjuk ha p2 nem nulla (ezt tudjuk), akkor leoszthatjuk az also egyenlettel a felette levot:

p1/p2=((a^t1)/(a^t2)) -atvisszuk p2-t, es a kitevore hasznaljuk az azonossagot:

p1=p2*a^(t1-t2)

Ugyanakkor tudjuk, hogy:

p2=p0*a^t2, atrendezve:

a^t2=p2/p0, (tetszoleges) logaritmust veszunk (itt a 10-es alapuval konnyebb szamolni, de igazabol mindegy, csak ugyanaz legyen az alap a peldaban mindenhol):

t2*log(a)=log(p2/p0)

log(a)=log(p2/p0)/t2

Visszaterhetunk ehhez, itt is logaritmust veszunk, meg atrendezzuk:

p1=p2*a^(t1-t2)

(t1-t2)*log(a)=log(p1/p2)

beirjuk log(a) elobb kiszamolt erteket:

(t1-t2)*log(p2/p0)/t2=log(p1/p2)

Es most visszaemeljuk arra a hatvanyra, ami a logaritmusnal volt:

(p2/p0)^((t1-t2)/t2)=p1/p2, p1-et kifejezve:

p1=p2*(p2/p0)^((t1-t2)/t2), ami nagyon rondanak tunik, es elegge kacifantos uton jutottunk el ide, de pont az, amit vartunk, es a jobb oldal minden resze ismert. Irjuk be a konkret szamokat, hogy ismerosebbnek tunjon (orak helyett napokban merve az idot)

A kitevo: (t1-t2)/t2=(1-2)/2=-1/2

p1=1000*(1000/100)^(-1/2)=1000*10^(-1/2), a -1/2 hatvany pedig pont az 1/gyok(alap), szoval: p1=1000/gyok(10) ami kerekitve 316. (esetleg lehet gyokteleniteni a nevezot, es egyszerusiteni 10-zel, es 100*gyok(10) jon ki)

Az utobbi keplet joval bonyolultabb, es sokkal hosszabb szamitas utan jott ki. Viszont elonye, hogy nem kell hozza gondolkodni (nem kell hozza jozan paraszti esz), es hogy barmilyen szamokra jo.

Ha most eloveszem a mikroszkopot, es elkezdem nezni a bakteriumtenyeszetemet, es mondjuk reggel 8:30-kor megszamolom, es a becslesem szerint 138000 baci volt benne, delutan 5-kor mar 283500, akkor ha kivancsi vagyok mennyi volt ebedidoben (amikor a hasamat tomtem, es nem erdekeltek a bacik), csak beirom a kepletbe, es kijon valami csunya (de nagyjabol pontos) szam.

Asszem kicsit tulbonyolitottam a 2. megoldast, felesleges elosztani egymassal a 2 egyenletet, vissza lehet helyettesiteni korabbra is log(a)-t.

p(t)=p0*a^t

log(p(t)/p0)=t*log(a)

log(a)=log(p2/p0)/t2

p(t)=p0*(p2/p0)^(t/t2)

ez t=1-ben:

p1=p0*(p2/p0)^(1/2)=100*(10)^(1/2)