Segítene valaki?

Szerencsére ezek olyanok, hogy ha egyet meg tudsz csinálni, akkor kb. ugyanaz a sablon alapján meg lehet csinálni.

Fontos tudni néhány szabályt:

Hatványozás azonosságai:

1) Azonos alapú hatványos szorzásánál az alapot a kitevők összegére emeljük, képlettel: a^n*a^m=a^(n+m), tetszőleges a;n;m valós számokra, kivéve, ha a=0, akkor n és m szükségképp pozitívak (mivel 0^0 és 0^(-valahány) nincs értelmezve). Példák:

5^3*5^5=5^(3+5)=5^8

8*8^3=8^(1+3)=8^4 (itt abba a hibába szoktak esni, hogy mivel a 8 nincs hatványozva, ezért azt automatikusan 0-ként kezelik, pedig valójában 8=8^1)

(-2)^4*(-2)^8=(-2)^(4+8)=(-2)^12

stb.

2) Azonos alapú hatványok osztásánál az alapot a kitevők különbségére emeljük. Képlettel: a^n/a^m=a^(n-m), itt a fentihez képest annyiban egészül ki a kikötés, hogy a nem lehet 0 (mivel 0/0 nincs értelmezve). Példák:

5^3/5=5^(3-1)=5^2

(-8)^8/(-8)^2=(-8)^8-2)=(-8)^6

stb.

Kérdés: mennyi lehet egy 0-tól különböző szám 0. hatványa?

Válasz: legyen például 5^0, erre írjuk fel a fenti azonosságot: 5^0=5^2/5^2=25/25=1, tehát 5^0=1. Ez minden számra érvényesül, kivéve a 0-t (mivel akkor 0/0-t kapunk, ami nem értelmezhető).

Kérdés: mennyi lehet egy szám negatív hatványa?

Válasz: kegyen például 5^(-2), erre is írjuk fel a fenti azonosságot: 5^(-2)=5^0/5^2=1/5^2. Más számokra is ugyanez a helyzet (persze kivétel a 0), tehát azt mondhatjuk, hogy egy szám negatív hatványa egyenlő a szám pozitív hatványának reciprokával.

3) Hatvány hatványozásánál az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Képlettel: (a^n)^m=a^(n*m). A szorzás kommutativitása miatt a kitevők "helyet cserélhetnek", vagyis (a^n)^m=a^(n*m)=(a^m)^n (erre még később szükségünk lesz). Példák:

(3^4)^5=3^(4*5)=3^20

(5^5)^(-3)=5^(5*(-3))=5^(-15)

(9^1024)^0=9^(1024*0)=9^0=1

stb.

4) Szorzat hatványozásánál a szorzat minden tényezőjét hatványozzuk. Képlettel: (a*b)^n=a^n*b^n (nem összekeverendő az (a+b)^n-nel, mert az teljesen más!!!). Például:

(3*5)^6=3^6*5^6

(5*k)^3=5^3*k^3

(x*y)^9=x^9*y^9

stb.

5) Osztásnál ugyanaz a helyzet, mint a szorzásnál: (a/b)^n=a^n/b^n

6. Törthatvány értelmezése: ha a hatványkitevőben törtszám van, akkor azt úgy értelmezzük, hogy a hatvány számlálójával hatványozunk, nevezőjével gyököt vonunk, vagyis: a^(p/q)=q.gyök(a^p), ha a nemnegatív, akkor =(q.gyök(a))^p. Például:

8^(2/3)=(3.gyök(8))^2=2^2=4

16^(1/4)=4.gyök(16)=2

stb.

Ha ezeket magabiztosan tudod alkalmazni, akkor megoldhatóak a fenti feladatok.

A feladatok megoldásai a következő hozzászólásban.

1)

6^x+6^(x+1)+6^(x+2)+6^(x+3)=256 /alkalmazzuk az első azonosságot

6^x+6^x*6+6^x*6^2+6^x*6^3=256 /végezzük el a hatványozásokat

6^x+6^x*6+6^x*36+6^x*216=256 /emeljünk ki minden tagból 6^x-ent:

6^x(1+6+36+216)=256 /összeadunk

6^x*259=256

Szerintem ezt vagy te vagy a tanárod elírta, inkább el tudom képzelni a jobb oldalra a 259-et (mivel különben logaritmussal kellene számolni, amit még nem hiszem, hogy tanultatok, ha ebből a témakörből írtok témazárót). Ha megengeded, átjavítanám:

6^x*259=259 /osztunk 259-cel

6^x=1 /átírjuk a jobb oldalt 6 hatványára: 1=6^0

6^x=6^0

Ennél a pontnál az exponenciális függvény szigorú monotonitására hivatkozunk. Ez azt jelenti, hogy az a^b=c alakú egyenletnek legfeljebb 1 megoldása lehet, ezért csak a kitevőkkel foglalkozunk tovább:

x=0, tehát x=0, ellenőrzéssel igazolható.

Ha mégse írtad volna el: osszunk 259-cel:

6^x=256/259, definíció szerint az egyenlet megoldása log(6)(256/259) (ejtsd: 6-os alapú logaritmus 256/259).

2)

3^(x+3)+3^(x+2)=36 /ugyanazt csináljuk, mint az előbb, ezt próbáld meg egyedül megoldani. Ha x=0 jön ki, akkor jól dolgoztál.

3) Szerintem ezt is elírta valaki, de ha nem:

6^(2x)*6^(x+1)=216 /alkalmazzuk az első azonosságot

6^(2x+x+1)=216 /összeadunk

6^(3x+1)=216 /átírjuk a jobb oldalt 2 hatványára: 216=6^3

6^(3x+1)=6^3 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

3x+1=3 /-1

3x=2, innen x=2/3, ellenőrzéssel igazolható.

Ha mégis elírás lenne (szorzás helyett pluszjel):

6^(2x)+6^(x+1)=216 /használjuk az első tagra a harmadik azonosságot

(6^x)^2+6^(x+1)=216 /használjuk a második tagra az első azonosságot

(6^x)^2+6^x*6=216.

Ha a 6^x helyett pl. valami z szám állna, akkor másodfokú egyenletet kapnánk, amit meg tudnánk oldani, például a megoldóképlettel, milyen kár, hogy ez nem így van :( De szerencsére lecserélhetjük azt a 6^x-ent a z-re, így nem változik lényegesen az egyenlet, tehát legyen 6^x=z, ekkor

z^2+6z=216 /-216

z^2+6z-216=0

Remélem, hogy másodfokú egyenletet meg tudsz oldani, de ha nem: az ax^2+bx+c=0 alakú egyenletnek a megoldóképlete: x_1;2=(-b+-gyök(b^2-4-a-c))/(2*a). A feladatban: a=1, b=6, c=-216, helyettesítsünk be: z_1;2=(-6+-gyök(6^2-4*1*(-216))/(2*1)=(-6+-gyök(900)/2=(-6+-30)/2, vagyis

z_1=(-6+30)/2=24/2=12

z_2=(-6-30)/2=-36/2=-18

Mivel z=6^x volt, ezért 12=6^x, innen definíció szerint x=log(6)12, és -18=6^x, aminek nincs megoldása, mivel pozitív alapú hatvány mindig 0-nál nagyobb.

Lehet, hogy mégse írtátok el a logaritmusos megoldás miatt, de ha tanultatok olyat, akkor lehet, hogy mégis :) Mindenesetre a megoldóképletben a gyök alá négyzetszám került, ezért is nem egyértelmű az elírás.

4)

4^(x-1)-4^(x-2)-4^(x-3)=10 /használjuk az első azonosságot

4^x*4^(-1)-4^x*4^(-2)-4^x*4^(-3)=10 /alkalmazzuk a negatív kitevőre tett megállapításunkat

4^x*1/4-4^x*1/4^2-4^x*1/4^3=10 /hatványozunk

4^x*1/4-4^x*1/16-4^x*1/64=10 /kiemelünk 4^x-ent

4^x(1/4-1/16-1/64)=10 /közös nevezőre hozunk, a közös nevező a 64 (remélem ez azért megy, nem szeretném külön magyarázni)

4^x(16/64-4/64-1/64)=10 /kivonunk

4^x*11/64=10

Itt is csak azt tudom elképzelni, hogy 10 helyett 11-nek kellene lennie, mert így a megoldás:

4^x=640/11, definíció szerint x=log(4)(640/11)

Viszont ha 11 van a jobb oldalon:

4^x*11/64=11 /osztunk 11/64-del (vagyis szorzunk 64/11-del)

4^x=64 /64=4^3

4^x=4^3 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

x=3, ellenőrzés

Folyt. köv., most van egy kis dolgom :) Addig emésztgesd ezeket.

5)

4^(2x+1)-15*4^x=5*4^(x-1)-1 /első azonosság

4^(2x)*4-15*4^x=5*4^x*4^(-1)-1 /4^(-1)=1/4

4^(2x)*4-15*4^x=5*4^x*1/4-1 /harmadik azonosság az első tagra

4*(4^x)^2-15*4^x=5*4^x*1/4-1 /legyen z=4^x

4z^2-15z=5z/4-1 /*4, hogy egész együtthatók legyenek

16z^2-60z=5z-4 /a jobb oldalt 0-ra redukáljuk: -(5z-4)

16z^2-65z+4=0

Megoldóképlettel: z_1;2=(-(-65)+-gyök((-65)^2-4*10*4))/(2*16)=(65+-gyök(3969))/32=(65+-63)/32

z_1=(65+63)/32=128/32=4

z_2=(65-63)/32=2/32=1/16

Mivel z=4^x, ezért egyrészt

4=4^x /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

1=x, másrészt

1/16=4^x /1/16=4^(-2)

4^(-2)=4^x /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

-2=x

6) Ebben biztos vagyok, hogy el lett írva, mivel lineáris-exponenciális egyenletet többnyire csak magasabb szintű matematikával lehet megoldani. Ez lesz a feladat:

125*3^x-81*5^(x-1)=0

Ez már egy kicsit trükkösebb feladat, de kis gondolkodással megoldható. Írjuk át a számokat hatványalakba:

5^3*3^x-3^4*5^x/5=0 /+3^4*5^x/5

5^3*3^x=3^4*5^x/5 /*5

5^4*3^x=3^4*5^x /osszunk 5^4-nel

3^x=3^4*5^x/5^4 /osszuk 5^x-nel

3^x/5^x=3^4/5^4 /mindkét oldalon alkalmazzuk a második azonosságot

(3/5)^x=(3/5)^4 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

x=4.

7)

10^(x^2-7x+6)=1

Tudjuk, hogy egy 0-tól és 1-től különböző alapú hatvány értéke csak akkor 1, ha 0. hatványra emeltük, vagyis

x^2-7x+6=0

Megoldóképlettel: x_1;2=(-(-7)+-gyök((-7)^2-4*1*6)/(2*1)=(7+-gyök(25))/2=(7+-5)/2

x_1=(7+5)/2=12/2=6

x_2=(7-5)/2=2/2=1

Ennyi lenne ennek a 7 feladatnak a megoldása. Remélem minden érthető és átültethető a gyakorlatba. Ha valami nem teljesen tiszta, kérdezz! :)

Szerintem a 2-esre gondolsz :D

3^(x+3)+3^(x+2)=36 /első azonosság

3^x*3^3+3^x*3^2=36 /elvégezzük a hatványozást

3^x*27+3^x*9=36 /kiemelünk 3^x-ent

3^x(27+9)=36 /összeadunk

3^x*36=36 /:36

3^x=1 /1=3^0

3^x=0 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

x=0.

Ha van még, amit nem értesz, írd meg privátban, szívesen segítek! :)

"Remélem, hogy másodfokú egyenletet meg tudsz oldani, de ha nem: az ax^2+bx+c=0 alakú egyenletnek a megoldóképlete: x_1;2=(-b+-gyök(b^2-4-a-c))/(2*a)".

Most vettem észre, hogy ezt elírtam, helyesen: x_1;2=(-b+-gyök(b^2-4*a*c))/(2*a) (mínuszjelek helyett szorzás, elütés volt :))