Matek feladat?! Többi lent

Használd először a következő képleteket:

a*log(b)=log(b^a)

log(A)+log(B)=log(A+B)

Tovább már megy?

Kedves előző! A helyes azonosságok így néznek ki:

LogA+LogB=LogAB

xLog(A)=Log(A)^x

Bocsi, valóban elsiettem. Szóval:

a*log(b)=log(b^a) - nem a logaritmus, hanem az argumentuma van a hatványon

log(A)+log(B)=log(A*B) - szorzás van a jobb oldalon az argumentumban

továbbá:

A^[log_A(B)]=B, ezt alkalmazd baloldalt

A^0=1, ezt a jobboldalon.

azaz mindkét oldalon az illető hatványra emeled a 3-ast

Most azért igencsak vigyázni kell a szorzó 2-esek kitevőbe való felvitelével, ugyanis hiába azonosság ez a logaritmus körében, megváltoztatja az egyenlet értelmezési tartományát. Egyszerűbb rendezni az egyenletet (egy tagot átvinni a másik oldalra, osztani 2-vel):

log_3(x-2)=-log_3(x-4).

Logaritmusok miatt teljesülnie kell x-re annak, hogy x-2>0, és x-4>0, azaz x>4. Ha most alkalmazzuk mégis a fenti azonosságot, akkor azt kapjuk, hogy log_3(1/x-4), viszont itt nem (!) változik meg az értelmezési tartomány, tehát ez az átalakítás most ekvivalens. Innen a (3-as alapú) logaritmusfüggvény szigorú monoton növekedése miatt írható, hogy:

x-2=1/(x-4).

Az (x-4)-gyel átszorozva, és rendezve kapunk egy másodfokú egyenletet:

x^2-6x+7.

Ezt megoldóképlettel megoldva két gyök adódik, x_1=3+gyök2, és x_2=3-gyök2. Mivel ez utóbbi nem felel meg a feltételnek (x_2~1,5858), ezért csak a másik gyök a jó megoldás, tehát x=3+gyök2 (~4,4142).