Trigonometrikus határérték esetleg?

A koszinusszal még mindig van valami gond. Valószínű lemaradt az x, nem?

 lim (1−cosx·tgx)/(x·sinx)

x→0

cosx·tgx = sinx (legalábbis ha x nem π/2 stb.), tehát ez lesz:

lim (1−sinx)/(x·sinx)

A számláló 1-hez tart, a nevező pedig 0-hoz. Ráadásul a nevező pozitív és negatív x-eknél is pozitív. Ezért a határérték +∞.

Ha meg így volna:

(1-cos(tgx))/(xsinx)

akkor L'Hospital valószínűleg segíteni fog:

(1-cos(tgx))' = sin(tgx)/cos²(x)

(xsinx)' = sin(x) +xcos(x)

(sin(tgx)/cos²(x)) / (sin(x) +xcos(x)) =

=sin(tg(x) / (sin(x)cos²(x) + xcos³(x))

Alkalmazzuk L'Hospital-t mégegyszer:

(-cos(tg(x))/cos²(x)) / (cos³x -2sin²(x)cos(x) + cos³(x) -3xsin(x)cos²(x)) -> -1/2

Ellenőrizd le nem számoltam-e el, de úgy néz ki 2 L'Hospital megoldja a gondokat.