Mértani sorozat alapfeladatokban tudnátok segíteni?

Lássuk sorban

A) feladat

a4 + a1 = 72

a4 + a7 = 9

a1(1 + q³) = 72

a4(1 + q³) = 9

Az elsőt elosztva a másodikkal

a1/a4 = 8

1/q³ = 8

q³ = 1/8

q = 1/2

======

Visszahelyettesítve az

a1(1 + q³) = 72

egyenletbe

a1(1 + 1/8) = 72

a1(9/8) = 72

ebből

a1 = 8*72/9

a1 = 64

======

****************************************

B) feladat

a5 + a6 = 48

a7 - a5 = 48

A két egyenletet összeadva

a6 + a7 = 96

hozzávéve az első eredeti egyenletet

a5 + a6 = 48

a6(1 + q) = 96

a5(1 + q) = 48

Az elsőt elosztva a másodikkal

a6/a5 = 2

vagyis

q = 2

====

A másodikba visszahelyettesítve

3*a5 = 48

a5 = 16

Mivel

a5 = a1*q^4

16 = a1*2^4 = a1*16

így

a1 = 1

======

*******************************

C) feladat

a7 = 324

a17 = 4/3

A két egyenlet hányadosa

a7/a17 = 243

1/q^10 = 243 = 3^5

q^10 = 1/3^5

A jobb oldalt a 10-ik hatványra hozva

q^10 = (1/√3)^10

így

q = 1/√3

======

Az a1 a kérdezőé. :-)

D)

a1+ a4 = 56

a2 + a3 = 24

Többféleképp is meg lehet oldani, itt van egy közülük

a1(1+ qª) = 56

a2(1 + q) = 24

A két egyenlet hányadosa

(a1/a2)[(1 + qª)/(1 + q)] = 7/3

a1/a2 = 1/q

a szögletes zárójelben levő tört pedig egy nevezetes azonosság segítségével egyszerűsíthető

(1 + qª)/(1 + q) = q² - q + 1

ezzel

(1/q)(q² - q + 1) = 7/3

a törteket eltüntetve a

3(q² - q + 1) = 7q

másodfokú egyenletet kell megoldani, ami a kérdezőre bízok. :-)

Ha kérdés van, ne kímélj. :-)

DeeDee

**********

Itt találsz a nevezetes azonosságokkal kapcsolatban anyagot.

[link]

Jó szöveg a lapon, hogy a nevezetes azonosság arról nevezetes, hogy meg kell tanulni. :-)

Itt meg egy magyarázat nélkül gyűjteményt

[link]

Az

a^3 + b^3 = (a + b)(a² - ab + b²)

maga az azonosság, aminek igaz voltáról meggyőződhetsz, ha elvégzed a jobb oldali szorzást. Ha tanultatok polinomos osztást, magad is megkaphatod a fenti eredményt.

************

Ezek után mutatok egy olyan megoldást, amihez nem szükséges a fenti azonosság ismerete.

a1+ a4 = 56

a2 + a3 = 24

A két egyenletet összeadva

a1 + a2 + a3 + a4 = 80

Másféleképp csoportosítva a bal oldal tagjait

(a1 + a3) + (a2 + a4) = 80

a1(1 + q²) + a2(1 + q²) = 80

(1 + q²)(a1 + a2) = 80

ebből

a1 + a2 = 80/(1 + q²)

Az eredeti második egyenletet hozzávéve

a2 + a3 = 24

van két egyenletünk.

Az utóbbi

a2(1 + q) = 24

a másik

a1(1 + q) = 80/(1 + q²)

a két egyenletet elosztva egymással

a2/a1 = (24/80)(1 + q²)

q = (3/10)(1 + q²)

A törteket eltüntetve

10q = 3(1 + q²)

Rendezés után

3q² - 10q + 3 = 0

ugyanazt az egyenletet kapjuk, mint az előző megoldásban.

DeeDee

***********