Matematika szöveges egyenlet. Hogy kell megoldani?

A sebesség, út, idő feldatokhoz hasonlít.

Agi lapolvasási sebessége: valahány lap óránként. Hadd jelöljem így: v lap/óra. Az időt, ami alatt Ági elovassa a könyvet, t-vel fogom jelölni (és órában mérem).

A dolgo értelme az, hogy bár még nem tudom sem v-t sem t-t, de valamit már tudok róluk:

ha Ági óránkénti lapolvasási sebességét összeszorzom az olvasásra fordított órák számával, megkapom az elolvasott lapok számát. Világos: ha Ági óránként 20 lapot olvas, és 3 órát szán rá, akkor 60 lappal lesz kész.

Ez alapján egy egyneletet máris fel tudunk írni:

vt = 240

persze mivel itt két ismeretlen van, és csak a szorzatuk ismert, ezért ebből még nem jön ki konkrét szám, ez csak egy összefüggés, ami önmagában még nem elég.

Nézzük tovább a feladat szövegét, kell hogy legyen még valami összefüggés, amit ki tudunk használni.

,,Ha óránként 2 oldallal többet olvasott volna el, 4órával hamarabb végzett volna.''

Ezt kell megfogalmazni hasonló formában, mint az előbbi egyenletet (picit bonyolultabb lesz, de hasonló).

Így is kapunk egy egyenletet:

SPOILER!!!

CSAK AKKOR OLVASD TOVÁBB HA MÁR NEM AKARSZ KERESGÉLNI A LEHETSÉGES TOVÁBBLÉPÉSI MEGOLDÁSOK KÖZT!!!

Szóval a második egyenlet:

(v+2)(t-4) = 240

Önmagában még ebből az egyenletből sem fog kijönni megoldás. DE A KÉT EGYENLETBŐL EGYÜTT MÁT IGEN.

I. vt = 240

II. (v+2)(t-4) = 240

Ez lesz a lényeg: egyenletrendszerként kell megoldani.

[link]

Persze kézzel kell megoldani, ez nem lesz nehéz, meg látszik is, hogy az eredmény is ,,szép''. Az egyenlet megoldása nekem egyelőre kissé hosszadalmas lett, talán más tudja ügyesebben is.

I. vt = 240,

II. (v+2)(t-4) = 240,

ez lesz belőle

I. vt = 240,

II. vt - 4v + 2t - 8 = 240

Mivel a vt szorzatról tudjuk, hogy 240 (első egyenlet felhasználása) , ezért a második egyenletet akár így is írhatnánk:

II. vt - 4v + 2t - 8 = vt

a jobboldalt álló 240 helyett most vt szorzatot írtam. Ezt megtehettem, hisz tudjuk, hogy a vt épp 240.

Az a lényeg, hogy így könnyű továbblépni, a II. egyenlet így könnyen hozható egyszerűbb alakra:

vt - 4v + 2t - 8 = vt | -vt

- 4v + 2t - 8 = 0 | :2

- 2v + t - 4 = 0 | t változót kifejezzük

t = 2v + 4

A második egyenlet tehát (az első egyenlet felhasználásával) ilyen egyszerű alakot öltött.

Most nézzük meg újra az I. és a II. egyenletet (az elsőt az eredeti alakjában, a másodikat az új egyszerűsített alakjában).

I: vt = 204

II': t = 2v + 4

Ezt az új, immár jóval rövidebb és egyszerűbb egyenletrendszert kell megoldani.

Javaslat: a második egyenlet ,,kifejezi'' t-t, ezt a kifejezést (2v + 4), ezt írd be az első egyenletben a t helyére!

SPOILER!!!

CSAK AKKOR OLVASD TOVÁBB HA MÁR NEM AKARSZ KERESGÉLNI A LEHETSÉGES TOVÁBBLÉPÉSI MEGOLDÁSOK KÖZT!!!

I: vt = 204

ebből az lesz, ha t helyére a ,,2v + 4'' kifejezést írjuk

I': v(2v + 4) = 204

2v² + 4v = 240 | :2

v² + 2v = 120

Ez másodfokú egyenlet, Viete formulákkal oldaható meg, vagy pedig - ami egyszerűbb - megoldóképlettel, én is ezt fogom írni.

v² + 2v = 120

v² + 2v - 120 = 0

és ebben az alakban használjuk a megoldóképletet.

Így ki jön ugyanaz a megoldás, mint amit a Wolfram Alpha is kihozott:

Egyik megoldás: v = 10

Másik megoldás: v = -12

Mivel a feladat órákról, elolvasott lapokról, olvasási sebességről szól, ezért itt a negatív megoldás nem értelmezhető.

Tehát v = 10 (lap/óra), Ági óránként 10 lapot olvas, ez az olvasási sebessége. Ebből már ki lehet hozni azt is, hány óra alatt végez a könyvvel: 24 óra alatt, hiszen a könyv 240 oldalas.