Hogy lehet felírni olyan pontot/pontokat, amely a 4x-5y=1 egyenletű egyenes egyenletre illeszkedik?

Az a pont, amit megadtál, nincs rajta az egyenesen.

Általánosan az n(A;B) normálvektorú egyenes, amelyre a P(x0;y0) pont illeszkedik:

A*x+B*y=A*x0+B*y0

Esetünkben A=4, B=-5, A*x0+B*y0=1

Ha a v(v1;v2) irányvektor adott, akkor:

v2*x-v1*y=v2*x0-v1*y0

De egyszerűbb, ha az irányvektort adják meg, hogy átírod normálvektorra, és a normálvektor koordinátáira írod fel az egyenletet. Ezt úgy tudod megtenni, hogy az irányvektor koordinátáit megcseréled, és az egyik előjelét megváltoztatod: v(2;5)->n(5;-2) vagy n(-5;2). Ez persze fordítva is igaz, vagyis a normálvektorból ugyanígy kell irányvektort csinálni.

Ha ábrázolni akarod, két lehetőséged van rá:

1. y-ra rendezed az egyenletet: y=(4x-1)/5. Ez olyan, mintha így lett volna megadva egy függvény: x->(4x-1)/5. Innentől vagy behelyettesítéses módszerrel, vagy a lépegetéssel tudod ábrázolni. Ez persze csak akkor van így, ha y-ra rendezed.

2. Kiválasztasz egy tetszőleges x vagy y pontot (de egyszerre csak egyet), és megoldod egyenletként pl.: y=3

4x-15=1

4x=16

x=4

Tehát az egyik pont, ami rajta van az egyenesen: P1(4;3)

De mivel két pont határoz meg egy egyenest, még egy pontra szükség van: x=-1

-4-5y=1

-5y=5

y=-1

Tehát a másik pont, ami rajta van az egyenesen: P2(-1;-1)

Mindig ügyeljünk arra, hogy az első koordináta mindig az x, a második az y értéke.

Ha ez a két pont megvan, egyszerűen összekötöd őket.

Ha a feladatban arra kíváncsiak, hogy egy pont rajta van-e az egyenesen (esetünkben (1;1), akkor x=1 és y=1, behelyettesítünk:

4*1-5*1=-1, ami nem egyenlő eggyel, így nincs rajta az egyenesen. Ha azt kérdezik, hogy hol van a pont az egyeneshez képest, akkor a jobb oldali számtól függően, ha annál nagyobbat kaptunk a behelyettesítés után, akkor az egyenes fölött, ha kisebbet (mint például most, mert 1>-1), akkor alatta van.

Az (1;1) pont nincs rajta, mert ha behelyettesíted az egyenletbe az x,y koordinátákat - jelen esetben mind2 1, akkor nem áll fenn az egyenlőség. Tehát 4*1-5*1 az -1-gyel egyenlő, nem 1-gyel. Úgy kaphatsz meg pontokat, amik rajta vannak az egyenesen, ha kiválasztasz egy x vagy y koordinátát, és behelyettesíted az egyenletbe, majd megoldod, így megkapod a másik koordinátát. Például:

Én meg akarom tudni, hogy melyik az a pont, amelyiknek 1 az x koordinátája és rajta van az egyenesen.

Behelyettesítem x helyére az 1-et az egyenletben, így ezt kapom: 4*1-5y=1, vagyis 4-5y=1

Ezt kell megoldani: 3=5y->y=3/5

Már meg is kaptam egy pontot: P(1;3/5)

Ugyanezt megcsinálhatod mondjuk 2-vel, 1,192-vel, 3,9786999-el, 0-val, akármivel.

Hogy miért? Az egyenes egyenlete egy olyan egyenlet, amelybe ha behelyettesíted az egyenes bármely pontjának megfelelő koordinátáit (tehát az x helyére az x, vagyis az első koordinátát, az y helyére az y, tehát a második koordinátát), akkor igaz állítást kapsz, vagyis az egyenlőség fennáll. Ennek fényében ha tudod egy pontnak az egyik koordinátáját, akkor meg tudod határozni az egyenlet segítségével a másikat is. Hacsak nem olyan egyenesről van szó, amelyik párhuzamos valamelyik tengellyel (ebben az esetben: ha az x tengellyel párhuzamos(esetleg egybevágó), akkor az egyenlet y=konstans, ha az y-al párhuzamos, vagy egybevágó, akkor az egyenlet x=konstans), akkor bármelyik x koordinátához tartozik megfelelő y koordináta és fordítva, tehát bármely számot helyettesíted is be x vagy y helyére, mindenképp lesz olyan pont, ami rajta van az egyenesen és ez az x vagy y koordinátája, így megkaphatod a másik koordinátáját is.