Háromszög oldalainak hossza?

Négy lépéses algoritmus

1. A háromszög területképletéből meghatározható a két megadott oldal közötti szög.

2. Ezzel a harmadik oldalra felírható a koszinusz tétel

3. A szinusz tétellel meghatározható még egy szög

4. 180-ból kivonva a kiszámított két szöget, megvan a harmadik is.

Program start! :-)

Többféle terület képlettel is dolgozhatsz.

1. T=a*b*sin(gamma)/2 képletből kijön, hogy gamma=36,87 fok.

2. Behúzod mc-t, ebből a háromszögből ismered az 5 cm-es oldalt és egy szöget, és serékszögű, így sin(gamma)=mc/5-ből kijön, hogy c=8.

3. Tehát egyenlő szárú a háromszög, így c=8, béta=gamma.

4. alfa = 180-2*gamma

Az előttem szólók csak félmegoldást írtak le. Mivel a feladat szerint háromszögről van szó, ezért ez bármilyen háromszög lehet. És most lássuk, mi kerülte el a figyelmüket:

Területképletből kijön, hogy:

sin(alfa)=0,6.

A két válaszoló azt felejtette el, hogy 2(!) olyan szög van, ami eleget tesz az egyenletnek. Az egyik valóban 36,87° (és a számológépeknek ez nagy hibája, hogy visszakeresésnél csak ezt az egy megoldást adja ki), a egyenlet másik gyöke (a szinusz miatt): 180°-16,87°=143,13°.

A feladat ennyiben módosul:

a^2=5^2+8^2-2*5*8*cos(143,13)=153

a=gyök(153)=3*gyök(17)

"Szinusztétellel az egyik szög (b=8):

sin(béta)/sin(143,13°)=8/gyök(153)

sin(béta)=0,388

béta=22,83°"

Itt is figyelembe kellene venni, hogy az egyenletnek két megoldása van (béta=158,17°), viszont a feladat szempontjából ez nem megoldás, mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, és mivel már volt egy tompaszögünk, ezért még egy tompaszög már "nem fér bele" a háromszögbe.

A harmadik szög:180°-143,13°-22,83°=14,04°.

Tehát a feladatnak két megoldása van.

És most egy kicsit a szinusztételről:

Akkor használható, ha a háromszögből legalább 2 oldal és egy szög, vagy 2 szög és egy oldal adott. Hatékonyan akkor alkalmazható, ha a legnagyobb oldallal szemközti szög van megadva, mivel ekkor nem kell figyelembe venni az egyenlet másik gyökét is; ha a legnagyobb szögnél nagyobb szöget kapunk, akkor nem a legnagyobb szög volt megadva, ellentmondás, így ez nem eredménye a feladatnak. Ha viszont nem a legnagyobb szöget adták meg, akkor ezt kell figyelembe vennünk: Ha a>=b>=c, akkor alfa>=béta>=gamma. A mostani feladat elején azért kellett mindkét szöget figyelembe venni, mert 2 olyan háromszög van (egy hegyesszögű és egy tompaszögű), amelynek két oldala 5 és 8 cm, területe 12cm^2.

Még egy dolog: ha a háromszögből 3 oldal és 1 szög adott, érdemes egy másik szöget a koszinusztétellel kiszámolni; hosszadalmasabb ugyan, de ott csak 1 szög jöhet számításba, mivel a koszinusz értéke negatív, csak tompaszögű, ha pozitív, akkor csak hegyesszögű lehet a szög (a "" jelölt résznél érdemes ezzel számolni).

Remélem, hogy érthető :)

Most látom, hogy egyszer ezt a feladatot videó.klipen elmondtam:

http://www.youtube.com/watch?v=hYM-t_BvZpI&feature=plcp