Egy háromszög területe 84 négyzetcentimétert, két szögének nagysága 67,38° és 53,13°. Határozzuk meg a háromszög oldalainak hosszát?

Jeloljuk be a csucsokat es ennek megfeleloen az oldalakat.

A∡ = 67,38

B∡ = 53,13

Ekkor C∡ = 180 - 53,13 - 67,38 = 59,49

jeloljuk m-mel a c-hez tartozo magassagot.

m/a=sin(B∡)

m/b = sin(A∡)

ez hegyes szogu haromszog, az m magassag T talppontja a c oldalt ket reszre osztja ca az A felol es cb a B csucs felol.

ca+cb = c

ca/a = cos(A∡)

cb/b=cos(B∡)

c = ca+cb = a*cos(A∡) + b*cos(B∡)

Azt is tudjuk, hogy mc/2 = 84

Van tehat 4 fuggetlen egyenletunk:

mc/2=84

c = a*cos(A∡) + b*cos(B∡)

m/a=sin(B∡)

m/b = sin(A∡)

Ezt kell megoldani ahhoz, hogy megkapjuk a,b,es c erteket.

Ha a fontiek stimmelnek, akkor pl igy lehet haladni:

mc=168

c = a*cos(A∡) + b*cos(B∡)

m/a=sin(B∡)

m/b = sin(A∡)

c = a*cos(A∡) + b*cos(B∡) = m*cos(A∡)/sin(B∡) + m sin(A∡)/cos(B∡) = (168/c)*(cos(A∡)/sin(B∡)+sin(A∡)/cos(B∡))

c^2 = 168((cos(A∡)/sin(B∡)+sin(A∡)/cos(B∡))

c=√168((cos(A∡)/sin(B∡)+sin(A∡)/cos(B∡))= 18,4182101

m=168/c = 9,1214074

a=m/sin(B∡)= 11,4017746

b=m/sin(A∡) = 9,88153449

Gondolom a*b = 195 az amit irni akartal.

Ez elegge jelolestol fugg.

mondjuk a b-hez tartozo magassagot m-mel jelolve

mb/2=84

mb = 168

m/a=sin(C)

m=a*sin(C)

a*sin(C) * b = 168

ab = 168/sin(C)

Akkor most meg az a kerdes melyik volt a C

C szog ___ 168/sin(C)

67,38 ___ 182,000179

53,13 ___ 210,000281

59,49 ___ 194,999524

Tehat akkor a feladat megoldas jelolesevel a 59,49 van hozza legkozelebb.

OK, akkor minden jeloles maradjon ugy, ahogy eloszor felirtam, nezzuk az egyenleteket amiket kapunk:

a/b = sin(A∡)/sin(B∡) (sin tetel)

b/c = sin(B∡)/sin(C∡) (masik sin tetel)

ab*sin(C∡) = 2*84 (haromszog terulet keplet)

sin(A∡)/sin (B∡) = sin(67,38)/sin(53,13) = 1,15384657

sin(B∡)/sin(C∡) = sin(53,13)/sin(59,49) = 0,928567917

Vagyis

a = 1,15384657*b

b = 0,928567917*c

ab = 194,999524

Ebbol:

1,15384657*b^2 = 194,999524

b^2 = 194,999524/1,15384657=168,999527

b = 12,9999818 ami kb 13

a = 194,999524/12,9999818=14,9999844 ami kb 15

c = b/0,928567917 = b/0,928567917 = 12,9999818/0,928567917

c = 14,0000333 ami kb 14

Nyilvan valahol valamit elszamoltam fent, mert nem ugyanezek a szamok jottek ki.

Nem olyan bonyolult ez.

A kérdező utolsó kommentje alapján a legjobb eljárni.

Adott

T = 84

α = 67,38

ß = 53,13

A területképletből

2T = b*c*sinα

ebből

b*c = 2T/sinα

Egy szinusztételből

b*sinγ = c*sinß

mivel

γ = 180 - (α + ß)

b/c = sinß/sinγ

b/c = sinß/sin(α + ß)

Tehát van két egyenlet két ismeretlenhez

b*c = 2T/sinα

b/c = sinß/sin(α + ß)

Legyen

2T/sinα = A

sinß/sin(α + ß) = B

így a két egyenlet

b*c = A

b/c = B

Ezekkel

c = √(A/B)

========

b = √(A*B)

========

az a oldalt pedig az

a = b*sinα/sinß

egyenletből lehet megkapni.

DeeDee

***********