Háromszög és koszinuszok? Hogy kell megoldani ezt a feladatot?
A feladat szerint bármely háromszög két tetszőleges szögére fennáll, hogy:
cosα + cosβ + cos(α + β) ≤ 1,5. Na, és ezt kellene nekem bebizonyítani, csak nem megy.
Addig eljutottam, hogy némi átalakítással
cosα + cosβ + cosγ ≤ 1,5. Amiben a háromszög három szöge szerepel.
A feladat annyit mond segítségként, hogy pl. vektorokkal bizonyítható, de ez nem jön össze nekem.
Szélsőérték feladatokat (mert ez ugye elvileg egy maximumkeresés) deriválással oldanék meg, de ebben két változó is van, azt pedig nem tanultuk órán, hogy is kéne... és nem szeretnék olyan megoldással villogni, amit elvileg nem is szabadna tudnom.
Már próbálkoztam koszinusztétellel és minden nyavalyával is, de sehogy sem jön ki semmi értelmes. Kérem, aki tud, segítsen!
válasza:Bizonyítsd be, hogy
cosα + cosβ + cosγ = 1 + r/R
és hogy
R >= 2r
bizonyíthatóak területképletekkel ( a háromszög területét legalább néhány száz féleképpen fel lehet írni, ha a sok képletet T-re rendezed, akkor brutálsok azonosságot kapsz ), de akár meg is találhatod ezeket a gugliban, ha szerencséd van
válasza: válasza:Azert nem megy mert nem igaz, van ellenpelda:
α = β = 1
cosα + cosβ + cos(α + β) = 2.99908622 > 1.5
válasza:cosα + cosβ + cosγ ≤ 1,5
nem hiszem, hogy erre at tudtad alakitani, legfeljebb
cosα + cosβ - cosγ ≤ 1,5 -re.
Amugy meg ha ez lenne a problema, hogy
cosα + cosβ + cosγ ≤ 1,5
ahol α, β, γ hegyesszogek,
akkor azt lehetne pl hasznalni,
hogy a [0,90] intervallumon a cos fuggveny konvexitasa miatt:
(cosα + cosβ + cosγ)/3 ≤ cos(α + β + γ)/3=cos(60) = 1/2
ezert
cosα + cosβ + cosγ ≤ 3/2
egyenloseg akkor all fenn, ha mindharom szog egyenlo, vagyis 60 fokos.
Kedves BKRS!
Köszönöm szépen a válaszod. Arra megkérhetlek esetleg, hogy kicsit bővebben kifejtsd azt a részt, "hogy a [0,90] intervallumon a cos függvény konvexitása miatt:
(cosα + cosβ + cosγ)/3 ≤ cos((α + β + γ)/3)"?
Ha további esetekre akarom bontani, akkor derékszög esetén
cosα + cos(90°-α) ≤ 1,5
cosα + sinα ≤ 1,5
deriválást alkalmazva szélsőérték akkor lesz, ha
cosα - sinα = 0
tgα = 1, ennek pedig csak α = 45° a megoldása ]0°; 90°[-on.
A második derivált - cosα - sinα = - √2 (α = 45° esetén), tehát α = 45°-ban maximuma lesz a cosα + sinα függvénynek, értéke √2, ami természetesen kisebb, mint 1,5.
Tompaszög esetén...
ha 90° < γ, akkor cosγ < 0. És tovább nem igazán jutok.
Gondoltam arra, hogy cosα + cosβ esetén működik-e az a konvexes trükk, ami fentebb is szerepelt?
(cosα + cosβ)/2 ≤ cos((α + β)/2)
0° < α + β < 90°, ezért
1 > cos(α + β) > 0
0 < cosα + cosβ < 2
Ami nem segít semmiben...
Ha γ = 90° + x, akkor cosγ = cos(90° + x) = - sinx
α + β = 90° - x
α = 90° - x - β
cosα = cos(90° - x - β) = cos(90° - x) * cosβ + sin(90° - x) * sinβ = sinx * cosβ + cosx * sinβ = sin(β + x)
cosα + cosβ + cosγ = sin(β + x) + cosβ - sinx = sinx * cosβ + cosx * sinβ + cosβ - sinx
És szintén nem jutottam sehova...
Valakinek van még valami ötlete, amin el lehetne indulni?
Előre is köszönöm... (és persze még egyszer köszönöm az eddigieket)
Ja igen, és a kezdőegyenlőtlenséget elírtam, így volt megadva:
cosα + cosβ - cos(α + β) ≤ 1,5 és ebből jön ki, hogy
cosα + cosβ + cosγ ≤ 1,5
válasza:kicsit bővebben kifejtsd azt a részt, "hogy a [0,90] intervallumon a cos függvény konvexitása miatt:
(cosα + cosβ + cosγ)/3 ≤ cos((α + β + γ)/3)"?
alulrol konvex egy fuggveny: a gorbe alatti terulet konvex sikidom.
felulrol konvex: a gorbe feletti terulet konvex.
Na ez a cos(x) ez 0 es 90 fok kozott (valojaban -90 es 90 kozott is) alulrol konvex.
Az, hogy konvex azt jelenti, hogy ha van nehany pontod a sikidom hataran, akkor ezek sulypontja mindig a sikidom belsejebe fog esni. Vagyis ha atlagolod a fuggveny ertekeket is meg az x ertekeket is, akkor az adott atlag x erteknel nagyobb vagy egyenlo lesz a fuggveny ertek mint az atlagos fuggveny ertek.
Rajolj egy abrat, nezd meg 2 pontra.
Pl az x^2 az folulrol konvex, tehat itt pont forditva lesz a relacio.
Keszits nehany rajzot.
Ha nagyjabol erted, hogy mi folyik, akkor nezz utana a Jensen egyenlotlensegnek:
válasza:Ha nem hegyesszogu a haromszog, akkor legyen mondjuk C a tompa szog es A+B<90 tehat megint A is meg B is hegyes szog.
cos(C) az meg negativ szam.
Vagyis:
cos(A) + cos(B) + cos(C) < cos(A) + cos(B) < 2*cos((A+B)/2) = 1,41 < 1,5
De ha 180° > γ > 90°, akkor 0° < α + β < 90°.
Tehát van egy olyan becslésünk, hogy
cosα + cosβ ≤ 2 ∙ cos((α + β)/2)
0° < (α + β)/2 < 45°, és mivel a cos függvény ]0°; 45°[-on csökken, ezért ha mindegyik oldalnak veszem a koszinuszát, akkor megfordulnak a relációk:
1 > cos((α + β)/2) > √2 / 2
2 > cos((α + β)/2) > √2
Viszont mi van, ha a cosα + cosβ ≤ 2 ∙ cos((α + β)/2) közelítést továbbra is felhasználjuk, γ-t felírjuk 180°-x formájában, és ekkor α + β = x, valamint kikötjük, hogy 0° < x < 90°?
cosα + cosβ + cosγ = cos(x/2) + cos(180°-x) = cos(x/2) - cos(x)
Innentől pedig az f(x) = cos(x/2) + cos(x) függvény szélsőértékeit deriválással próbálom meghatározni.
f'(x) = -sin(x/2)/2 + sinx
Szélsőérték akkor van, ha -sin(x/2)/2 + sinx = 0.
Itt kicsit meg vagyok lőve, de hátha jól csináltam.
sin(x/2) - 2sin(x) = 0 és sinx = 2*cos(x/2)*sin(x/2)
sin(x/2) * (1 - 4cos(x/2)) = 0
sin(x/2) = 0
x = k*360° (ahol k egész)
vagy
1 + 4cos(x/2) = 0
cos(x/2) = 1/4
ebből az jön ki, hogy
x = 151,045° + 2k*360° vagy x = -151,045° + 2k*360° = 208,955° + 2k*360° (k mindenhol egész)
Ezzel csak az az egy gondom van, hogy x-nek 0° és 90° között kellene lennie...
Elrontottam megint valahol?
válasza:A haromszog vagy hegyes szogu, vagy pontosan egy tompa szoge van.
Ha hegyes szogu, akkor lattuk, hogy a fenti gondolatmenet OK.
Ha van pontosan 1 tompaszoge akkor a fenti mennyiseg meg mindig egyenlo a 3 szog cosinusazanak az osszegevel.
Ebbol a tompaszog koszinusza negativ, tehat az osszeg kisebb mint a ket hegyesszog cos-anak az osszege.
Es akkor innentol megint mukodik a Jensen egyenlotlenseg.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!