Erre a főiskolai matematika példára mi a megoldás?

Számold ki az (5;5) pontban az érintősík egyenletét. Ennek a lényege a következő:

Parciálisan kell deriválni f(x,y)-t x és y szerint. A deriváltak f'x és f'y. A sík egyenlete ez lesz:

z-f(x0,y0) = f'x(x0,y0)·(x-x0) + f'y(x0,y0)·(y-y0)

Most x0=5, y0=5

Ha megvan a sík egyenlete, csak be kell helyettesíteni x és y helyébe a (4,9;5,1) pontot, z lesz f(x,y) közelítése.

A deriválás megy egyedül? Egyrészt a parciális deriválás szabályait kell alkalmazni, másrészt az összetett függvény deriváltását kell tudni.

Valami olyasmit csináltál, hogy a gyök alatti részt deriváltad. Az nem jó. Az összetett függvény deriválása még nem egyetemi anyag, azt már gimiben tanultátok. Szerintem vedd elő az akkor könyveidet, füzetedet, és nézd át a deriválást, mert egyetemen már azt nem fogják elmagyarázni újra.

Ezt a példát most levezetem neked lépésről lépésre, de úgy kellene mindezt tudnod, hogy már csak az új anyagra, a parciális deriválásra koncentrálhassál.

Összetett függvény deriválása:

Úgy kell nézni a függvényt először, mintha csak a külső függvény lenne ott, és azt kell deriválni. Aztán ezt szorozni kell a belső függvény deriváltjával. Példán keresztül ez érthetőbb lesz:

Most a belső függvény a t=159-2x²-4y², a külső pedig √t.

Ne zavarjon meg a t a függvényben, ugyanaz, mintha √x-et kellene deriválni. Gimiben √x-ként tanultátok, most mindenhol x helyett t van.

A külső függvény (t szerinti) deriváltja:

Mivel √t = t^(1/2)

és t^k deriváltja k·t^(k-1)

ezért √t deriváltja 1/2·t^(-1/2)

és mivel negatív hatvány reciprokot jelent, ez ugyanaz, mint 1/(2√t)

Vagyis a külső függvény deriváltja, most már t helyébe behelyettesítem t értékét:

1/(2√(159-2x²-4y²))

De ez még nem az eredeti függvény deriváltja, szorozni kell ezt a belső függvény deriváltjával.

Most jön be esetedben a parciális deriválás. A belső függvényt egyszer x szerint, másszor pedig y szerint kell deriválni. Vegyük akkor ezeket:

∂t/∂x = -4x

∂t/∂y = -8y

Ezt te is meg tudtad csinálni, gondolom, ezzel nincs probléma. A jelölés ne zavarjon meg, ∂t/∂x ugyanazt jelenti, mint a t'x (itt t van f helyett, mert t-nek neveztem a belső függvényt.) Valószínű tanuljátok most ezt a ∂f/∂x jelölést is az f'x mellett, vagy ha még nem, akkor nemsokára fogjátok tanulni.

Szóval megvan a belső fv parciális deriváltja x és y szerint, ha ezzel beszorozzuk a külső fv deriváltját, megkapjuk a teljes fv két parciális deriváltját. Leírom őket:

∂f/∂x = -4x/(2√(159-2x²-4y²))

∂f/∂y = -8y/(2√(159-2x²-4y²))

vagy egyszerűsítve 2-vel:

∂f/∂x = -2x/√(159-2x²-4y²)

∂f/∂y = -4y/√(159-2x²-4y²)

Ezzel a deriválással készen vagyunk. Szerintem most olvasd el még egyszer az egészet, amit írtam, és ha bárhol nem értesz valamit, kérdezz rá.

Aztán ha tiszta minden, akkor már csak a deriváltak értékeit kell kiszámolni x=x0=5 és y=y0=5 esetére, és fel tudod írni a sík egyenletét. Írd meg nekem azt is, hogy erre mi jött ki neked.

Aztán legvégül a sík egyenletében (ahol még lesz x és y, hisz csak x0 és y0 helyébe került a két 5-ös), ott x és y helyébe 4,9 és 5,1 helyettesítéssel jön ki az f függvény közelítő értéke.

-----

Az összetett függvény deriválására mondok még valamit. Ezt elsőre sokaknak bonyolultan hangzik, de muszáj ezt a jelölésmódot is megérteni, mert egyetemen ilyenek lesznek rendszeresen.

Most nem a parciális deriválás az érdekes, hanem a sima x szerinti deriválás összetett függvény esetén.

Nézzük pl. az f(x) = √(x²+1) függvényt.

Az összetett függvényt f(x) helyett felírhatjuk f(t) alakban, ahol t szintén egy függvény:

f(t) = √t

t(x) = x²+1

Ebben idáig nincsen semmi bonyolult ugye.

Az f függvény deriváltja az összetett függvény deriválásának gimiben tanult szabályával felírható ilyen alakban:

f' = df/dx = (df/dt)·(dt/dx)

Ez a jelölés már nem szokott gimis anyag lenni. A fenti jelölés azt jelenti, hogy f-et t szerint kell deriválni (vagyis a külső függvényt kell deriválni) és ezt beszorozni t-nek x szerinti deriváltjával. Ez maga az összetett függvény deriválásának a szabálya.

Most jön a turpisság:

Formailag felfogható a dolog úgy, hogy a df meg a többi d valami azok önálló dolgok, és akkor a jobb oldalon lehet egyszerűsíteni dt-vel (a zárójel elhagyása után). Azt kapjuk, hogy df·1/dx. Az pedig formailag ugyanaz, mint a df/dx, ami az f', vagyis a deriválás másik jelölése.

Vagyis ezzel az egyszerűsítéssel bizonyítottuk az összetett függvény deriválásának a szabályát.

Értem.

Legalább ezt a két wikipédia cikket olvasd végig, és tanuld meg belőlük ezeket:

- az elemi függvények deriváltjai (a hiperbolikus meg az inverz hiperbolikus függvények deriváltja már talán nem kell, de a többi igen. Az inverz trigonometrikus is lehet, hogy nem kell...)

- differenciálási szabályok. Ezek között van "láncszabály" néven "csúnya" karikás jelöléssel az összetett függvény deriválási szabálya is, de azt az általam leírtakból (szerintem) jobban meg lehet érteni. Legalábbis remélem :)

Szóval a cikkek:

[link]

[link]

Ebben az másodikban ne állj meg a deriválási szabályoknál, olvasd végig. A vége felé van a lineáris közelítés egyváltozós függvény esetén, ennek kétváltozós továbbfejlesztését tanuljátok most parciális deriválással.

Nem tudom, honnan vetted ezt a tízharmados f'x-et... Amit én kiszámoltam, az ez, leírom még egyszer:

∂f/∂x = -2x/√(159-2x²-4y²)

∂f/∂y = -4y/√(159-2x²-4y²)

Írtam fentebb, hogy a ∂f/∂x jelölés ugyanaz, mint az f'x, stb.

Ha neked tízharmad x jött ki, akkor nagyon rosszul olvastad, amit írtam. Olvasd el még párszor, hogy meg is értsd, mi van odaírva.