Egy konvex sokszög belső szögeinek mérőszámai egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Hány oldalú a sokszög, ha a legnagyobb szöge 177,5°, a legkisebb pedig 122°30'? Mekkora a sokszög többi szöge?

Legyen N oldala a konvex sokszögnek (ekkor N szöge is van.)

Adjuk össze a szögeit.

A számtani sor összegképlete:

(legkisebb+legnagyobb)/2*N=(122,5+177,5)/2*N=150*N

Másrészt egy N oldalú sokszög belső szögeinek összege:

(N-2)*180 fok

150*N=(N-2)*180

150N=180N-360

360=30N

N=12

Ez egy 12 szög.

a1=122,5

a12=177,5

az n. tag képlete: an=a1+n*d

Vagyis 177,5=122,5=11*d

innen d=5

A többi szög:

122,5+1*5

122,5+2*5

...

122,5+10*5

A számtani sorból ismert

a1 = 117,5

an = 177,5

A sor többi tagja = ?

Egyrészt a számtani sor összege

Sn = n(a1 + an)/2

Másrészt a sokszög belső szögeinek összege

B = (n - 2)180

A két mennyiség egyenlő egymással, vagyis

Sn = B

n(a1 + an)/2 = (n - 2)180

Behelyettesítve az ismert értékeket

n(117,5 + 177,5)/2 = (n - 2)180

150n = 180(n - 2)

egyszerűsítve

5n = 6n - 12

ebből

n = 12

=====

A számtani sor általános tagja

an = a1 + (n - 1)d

d = (an - a1)/(n - 1)

d = (177,5 - 117,5)/(12 - 11) = 55/11

d = 5

=====

Ezekkel a sorozat tagjai - a belső szögek - már számíthatók.

DeeDee

**********