Ezt hogy kell megoldani: Hányadik tagtól kezdve esnek biztosan a sorozat elemei a határérték 10-4 (10 a -4. -iken) –es környezetébe? A= 5n-2/4n+1

lim ((5n-2)/(4n+1))= lim ( (n/n)*(5-2/n)/(4+1/n))=5/4

Határérték definíciója alapján:

ABSZ((5n-2)/(4n+1)-5/4))<=10^(-4)

Közös nevezőre hozunk:

ABSZ((20n-8-20n-5)/(16n+4))<=10^(-4)

ABSZ((-13)/(16n+4))<=10^(-4)

Az abszolútértékben lévő kifejezés negatív, tehát az abszolútértéke a -1-szerese:

13/(16n+4)<=10^(-4)

Keresztbe szorzunk (lehet, mert egyik sem negatív!):

13*10^4<=16n+4

130000-4<=16n

129996<=16n

8124,75<=n

Jelöljük N-nel az első egész számot, amitől kezdve a sorozat összes eleme benne van a környezetben:

N= 8125 a megoldás. Már erre is teljesül, az ennél nagyobb n-ekre is.

Jelölések:

ABSZ(): abszolútérték

10^(-4): 10 A -4.-EN

<=: kisebb-egyenlő

Néha kitettem felesleges zárójeleket, hogy biztos egyértelmű legyen.

Remélem hasznos volt.