Egy nem túl bonyolultnak tűnő logaritmusos egyenlet, amit azonban sehogy sem tudok megoldani. :$?

Azonos alapú logaritmusok összege- felírod egy logaritmussal. A logaritmus értelmezése szerint (3 a nulladikon) =1, egyenlő a log alatti mennyiséggel.

Így már megy?

log3((x-2)^2)+log3((x-4)^2)=0

log3((x-2)^2*(x-4)^2)=0

(x-2)^2*(x-4)^2=1

((x-2)(x-4))^2=1

(x-2)(x-4)=1

x^2-6x+7=0

x1=3-2^(1/2)

x2=3+2^(1/2)

A gyökvonás miatt elveszik mégegy megoldás, ez a wolframaplha szerint x3=3.

log3[(x-2)^2] + log3[(x-4)^2] = 0 (Csak hogy egyértelmű legyen a zárójelezés, ami fent van, az alapján más is lehetne.)

[OFF] Ez egy negyedfokú egyenletre vezet, hová tettétek a 4. gyököt? [ON]

A logaritmus azonosság alapján (amit fentebb is emlegettek)

log3[(x-2)^2 * (x-4)^2] = 0

Mivel a logaritmus függvény egyértelmű, ez csak akkor lehet, ha az, ami a logaritmusban van az éppen 1.

(x-2)^2(x-4)^2 = 1,

((x-2)(x-4))^2 - 1^2 = 0.

Az a^2-b^2 = (a+b)(a-b) azonosság alapján

[(x-2)(x-4) + 1]*[(x-2)(x-4) - 1] = 0.

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így két lehetőség van:

1. (x-2)(x-4) + 1 = x^2 - 6x + 9 = 0.

2. (x-2)(x-4) - 1 = x^2 - 6x + 7 = 0.

Innét másodfokú egyenlet megoldóképletével x1 = x2 = 3, x3 = 3 + gyök(2), x4 = 3 - gyök(2). Ezek behelyettesítve valóban helyes megoldást adnak.

log3((x-2)^2)+log3((x-4)^2)=0

log3((x-2)^2*(x-4)^2)=log3(1)

(x-2)^2*(x-4)^2=1

((x-2)(x-4))^2=1

|((x-2)(x-4))| = 1

(x-2)(x-4)=1 vagy (x-2)(x-4)= -1

x^2-6x+7=0 vagy x^2-6x+9=0

Szorzatta irva oket:

(x-3+√2)(x-3-√2)=0 vagy (x-3)^2=0