Szélsőérték az egyenlő azzal, hogy hova tart a sorozatom?

Kicsit konkretizálni kellene, mert így sok értelme nincs a kérdésnek.

Általában a szélsőérték nem egyezik meg a határértékkel, már ha a végtelenekben vett határértékre gondolsz.

Nem.

Ha megoldod a

(3n - 3)/(6n + 4) = 0,5

egyenletet, akkor azt kapod, hogy nincs megoldás. Szélsőértékről akkor beszélhetünk, hogyha az adott értéket felveszi a függvény/sorozat, de itt erről nincs szó, tehát nem lehet szélsőérték.

Mivel a sorozat szigorúan monoton növő, ezért a határérték a suprémummal, vagyis a legkisebb felső korláttal fog megegyezni, de ez nem lesz szélsőérték.

Fordítva egyébként tudna működni a dolog, vagyis ha lenne szélsőérték, akkor az automatikusan "leg" korlát lenne (maximum = legkisebb felső korlát, minimum = legnagyobb alsó korlát), de ha nincs szélsőérték, attól még korlát lehet.

Nem...

A szélsőérték A SOROZAT TAGJA KELL, HOGY LEGYEN.

Például amikor az x^2 függvényt vizsgáltátok, akkor annak az x=0 helyen szélsőértéke (minimuma) volt, mert azt az értéket FELVETTE, és annál kisebb értéket nem vett fel a függvény.

A te esetedben nem tudunk olyan értéket mondani, ami a sorozat tagja és annál a sorozat összes többi tagja kisebb lenne. Erre találták ki a korlátot. Ha a sorozatnak tagja lenne a 0,5, akkor igazad lenne. De nem veszi fel, ezért nem lehet szélsőérték.

Igen, a határérték 6/9 lesz, ahogy azt szépen be is rajzoltad az ábrába.

A sorozatod első tagja negatív, a többi pozitív, ezáltal a sorozat első tagja szélsőértéke, pontosabban minimuma lesz. A sorozat egyébként szigorúan monoton növő, és mivel a határértéke a végtelenben 6/9 = 2/3, emiatt a 2/3 a sorozatnak a FELSŐ KORLÁTJA lesz.

Nem tudom értelmezni, amit írtál...

Még egyszer: ha a sorozat szigorúan monoton, akkor a végtelenben vett határérték a sorozat korlátja lesz, ami NEM EGYEZIK MEG a szélsőértékkel.

Ha sorozat nem szigorúan monoton, akkor előfordulhat, hogy menet közben felveszi a korlátot értéknek, ami egyben határérték is lesz. Ilyen például a (sin(n-1))^2/n sorozat, ahol is a sorozat első tagja 0, a sorozat határértéke is 0, negatív értéket magától értetődő módon nem vesz fel, tehát ennek a függvénynek a 0 a határértéke, a korlátja ÉS a szélsőértéke (minimuma) is egyben.