Ezt kaptuk házinak, hogy nevezetes közepekkel kell megoldani. Hogyan kell megcsinálni ? Köszi a segítséget

Nem tudom, hogy ezt közepekkel hogyan lehetne megoldani. Már csak azért sem, mert a 2x+3y vehet fel negatív értékeket is (tehát a minimum biztosan negatív lesz), a negatív számokat pedig a közepek nem nagyon szeretik.

Én így oldanám meg; legyen 2x+3y=c, ahol c valami valós szám. Mivel a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért egyenletrendszert alkotnak:

x^2 + y^2 = 1 }

2x + 3y = c }

Ez valójában egy paraméteres egyenletrendszer, ahol az a kérdés, hogy milyen c paraméter mellett lesz ennek megoldása (és nyilván ezek közül kell kiválasztani a legkisebbet és a legnagyobbat c-re).

A második egyenletből fejezzük ki x-et (y-t is lehet, de a 3-as osztás miatt nem lenne kényelmes): x = 0,5c - 1,5y, ezt beírjuk a másik egyenletben x helyére:

(0,5c - 1,5y)^2 + y^2 = 1, kibontás és rendezés után:

3,25y^2 - 1,5cy + 0,25c^2 - 1 = 0

Ez egy másodfokú egyenlet, aminek csak elég a diszkriminánsát vizsgálni (a diszkrimináns a másodfokú egyenlet gyökjel alatti része), ha ez legalább 0, akkor az egyenletnek van megoldása. Ennek megfelelően:

(-1,5c)^2 - 4*3,25*(0,25c^2 - 1) >= 0, ennek megoldása:

-gyök(13) <= c <= gyök(13)

Tehát c értéke ezen két érték között mozoghat.

Mivel c eredetileg a 2x+3y értékét jelölte, ezért c legkisebb lehetséges értéke -gyök(13), legnagyobb lehetséges értéke gyök(13).

A WolframAlpha is ezeket adja ki eredménynek:

[link]

[link]

x²+y²=(x+y)²-2xy

Ebben már ott van a mértani közép xy, és a számtani közép x+y is, már csak megfelelően kell átalakítani.

Ne feledjük el a kettő közötti egyenlőtlenséget, ezzel a két változó között kapunk egy jó kapcsolatot.