Kétváltozós függvény lokális szélsőértékhelyeinek keresésében kérhetek segítséget?

Valóban ez a megoldás.

Azonban a Hesse-mátrixnál a következő áll fenn.

Az biztos, hogy a mátrix nem pozitív definit és nem negatív definit, amiatt, amit írtál.

De ez a főminoros feltétel, csak a pozitív/negatív definit mátrixokra vonatkozik, a szemidefinitekre nem.

Szóval attól, hogy a főminorokra vonatkozó kritériumot nem elégíti ki a mátrix egy adott pontban, még nem biztos, hogy ott indefinit.

És így attól még, hogy a mátrix az adott pontban nem pozitív/negatív definit, lehet a függvénynek lok. szélsőértéke az adott pontban.

Az pl. viszont elég indoklás, hogyha kiszámolod mindkét pontban a Hesse-mátrix sajátértékeit, és ha mindkét stacionárius pontban van pozitív, és negatív sajátérték is, akkor mindkettőben indefinit a mátrix, így mindkét pont nyeregpont.

Vagy, ha egy x* stacionárius pont esetén tudsz találni egy olyan pontot R^2-ből, amelyben az x*-ra felírt Hesse-mátrixhoz tartozó kvadratikus alaknak negatív előjele van, és egy olyan pontot is tudsz találni, amiben pozitív előjele van, akkor az adott stac. pontban indefinit a mátrix, és nyeregpont van. Ilyenkor le kell írni egy dolgozat esetén szerintem a két pontot, és ki kell számolni, hogy az egyikben negatív az említett x*-beli kvadratikus alak, a másikban pedig pozitív.

Jó, javítom, most olvastam, hogy elvileg, ha k egy páros szám, akkor ha a k-adik főminor negatív, az elég bizonyíték az indefinitségre.

Bocsánatot kérek, én erre nem emlékeztem, és azt gondoltam, ezt nem is szokták tanítani. (Volt már egypár hasonló dolgokkal kapcsolatos tárgyam, és nem emlékeztem rá, hogy ilyesmit tanultam volna.)

Ennek nem néztem meg a bizonyítását, de gondolom igaz.

Itt találtam:

[link]

És stack exchange-en is megerősítették:

[link]

Mindenesetre akkor már leírok egy másik dolgot is:

Ha egy négyzetes mátrix főátlójában van negatív és pozitív elem is, abból már következik, hogy indefinit. (Ezt bizonyíthatod azzal, hogy nézed a különböző egységvektorokat, és az i-edik egységvektorra egy mátrix kvadratikus alakja a mátrix i. sorának i. eleme)