Hogyan bizonyítsam be, hogy gyök 5 irracionális?

Ugyanúgy megy, ahogy a gyök 2 irracionalitása: indirekt úton.

Ehhez felhasználjuk a racionális számok tört alakját.

Azt, hogy ezek között van egyértelműen egy, ami egy tulajdonságában különbözik a többi tört alakú ábrázolásától.

Négyzetre emeléssel, felszorzással áttérünk az egész számokra és egy négyzetszámokra vonatkozó oszthatósági szabályt kell alkalmazni. Ez ellentétbe kerül a kiindulási tört alaknak azzal a tulajdonságával, amit az elején meghatároztunk.

Az ellentmondásos módszert kell alkalmazni vagyis feltételezzük hogy egy állítás igaz és ha ellentmondásba ütközünk akkor az állítás nem lehet igaz.

Ebben az esetben feltételezzük hogy sqrt 5 racionális szám ez az eredeti állításunk. Ha egy szám racionális akkor felírható két egész szám hányadosaként vagyis

Sqrt 5= x/y

Távolítsuk el a gyökjelet négyzetre emeléssel

5=x^2/y^2

Rendezzük át lineáris alakba:

5×y^2=x^2

Mivel mindkét szám négyzetes hatványon szerepel ezért vizsgáljuk meg a nègyzetre emelt számok prímtényezőinek számát!

Példák:

6^2=6×6=2×3×2×3 (4 db vagyis páros számú prímtényezők)

12^2=12×12=6×2×6×2=3×2×2×3×2×2 (6 db vagyis páros számú prímtényezők)

24^2=12×2=6×2×2=3×2×2×2 (4d db vagyis páros számú prímtényezők)

Ezekból látszik hogy bármely szám a négyzeten páros számú prímtényezőkkel rendelkezik. Ezt alkalmazva az eredeti példára:

5×y^2=x^2

X^2 és y^2 páros számú prímtényezőkkel rendelkezik. De mivel y^2 szorozva van öttel, ezért 5 prímtényezője a bal oldali kifejezésnek vagyis 1+n, ezért 5×y^2 kifejezésnek páratlan számú prímtényezője van. Ezzel ellentmondásba ütköztünk mert akkor nem lehet egyenlő a jobb oldali x^2 kifejezéssel.

Ezzel kijelenthető hogy sqrt5 nem lehet racionális szám.