Hogyan kell indirekt módon bebizonyítani, 2-es alapú logaritmus 18 irracionális?

Gyakorlatilag ugyanúgy kell bizonyítani, mint a √2 esetén; tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, így log(2)[18] racionális, így pedig felírható a/b alakban, ahol a és b pozitív egész (ezt a megjegyzést azért tehetjük meg, mert a log(2)[18] értéke biztosan egész, lévén log(2)[2]=1 és a log(2)[x] függvény szigorúan monoton növő), valamint a tört tovább nem egyszerűsíthető:

log(2)[18] = a/b

Tudjuk, hogy ha x=y, akkor k^x=k^y, tehát ha valamit ugyanazzal a számmal hatványozunk, akkor az eredmény is (triviálisan) ugyanaz lesz. Esetünkben hatványozzuk a 2-t:

2^log(2)[18] = 2^(a/b)

A bal oldal értéke a logaritmus definíciója szerint 18:

18 = 2^(a/b)

Emeljük mindkét oldalt b-edik hatványra:

18^b = 2^a

A jobb oldalon 2-eseket szorzunk össze, a bal oldalon viszont a 18=2*3*3 miatt 3-as prímtényezők is szerepelnek, így viszont a két szorzat nem lehet egyenlő. Ennek csak úgy lehetne megoldása, hogyha a=b=0, ami egyrészt azért nem lehet, mert akkor a/b esetén 0-val kellene osztani, másrészt az elején kikötöttük, hogy a és b is pozitív.

Tehát az indirekt feltevés hamis, így log(2)[18] értéke biztosan irracionális.

Akármelyik másik logaritmusos példánál el lehet ezt játszani.

Tegyük fel, hogy racionális. Ez azt jelenti, hogy

2^(p/q)=18, ahol p egész, q pozitív egész

...

2^(p-q)=3^(2q)

Ez ellentmond a számelmélet alaptételének.